चलन, काळ-काम आणि नळ-टाकी

स्पर्धा परीक्षेच्या गणितामध्ये 'चलन' हा पाया आहे, तर 'काळ-काम' आणि 'नळ-टाकी' हे त्यावर आधारलेले दोन सर्वात महत्त्वाचे खांब आहेत. या तिन्ही प्रकरणांचा एकमेकांशी जवळचा संबंध आहे. आपण या संकल्पना अगदी शून्यापासून समजून घेऊया.

१. चलन: मूलभूत संकल्पना

दोन राशींमध्ये जेव्हा एका राशीतील बदलामुळे दुसऱ्या राशीतही बदल होतो, तेव्हा त्याला चलन म्हणतात. व्यवहारात आपण अनेकदा पाहतो की, वस्तूंची संख्या वाढली की किंमत वाढते किंवा मजुरांची संख्या वाढली की कामाचे दिवस कमी होतात. हे सर्व चलनाचे खेळ आहेत.

समचलन

जेव्हा दोन राशींपैकी एका राशीचे मूल्य वाढले असता दुसऱ्या राशीचे मूल्यही त्याच प्रमाणात वाढते, किंवा एकाचे मूल्य कमी झाले असता दुसऱ्याचेही मूल्य कमी होते, तेव्हा त्याला 'समचलन' म्हणतात.

वैशिष्ट्ये:
- समचलनामध्ये दोन राशींचे गुणोत्तर नेहमी स्थिर असते.
- जर $x$ आणि $y$ समचलनात असतील, तर $\frac{x}{y} = k$ (येथे $k$ हा चलनाचा स्थिरांक आहे).
उदाहरणासह स्पष्टीकरण:
समजा एका वहीची किंमत २० रुपये आहे.
- १ वही = २० रुपये
- २ वह्या = ४० रुपये
- ५ वह्या = १०० रुपये
  येथे वह्यांची संख्या जशी वाढत आहे, तशीच त्यांची एकूण किंमतही वाढत आहे. या दोघांचे गुणोत्तर नेहमी $\frac{1}{20}$ इतकेच राहील.

व्यस्तचलन

जेव्हा दोन राशींपैकी एका राशीचे मूल्य वाढले असता दुसऱ्या राशीचे मूल्य त्याच प्रमाणात कमी होते, तेव्हा त्याला 'व्यस्तचलन' म्हणतात.

वैशिष्ट्ये:
- व्यस्तचलनामध्ये दोन राशींचा गुणाकार नेहमी स्थिर असतो.
- जर $x$ आणि $y$ व्यस्तचलनात असतील, तर $x \times y = k$ .
उदाहरणासह स्पष्टीकरण:
समजा एक काम करण्यासाठी मजुरांची संख्या आणि लागणारे दिवस यांचा विचार करूया.
- १० मजूर = २० दिवस
- २० मजूर = १० दिवस
- ५ मजूर = ४० दिवस
  येथे मजूर वाढले की दिवस कमी होतात आणि मजूर कमी झाले की दिवस वाढतात. सर्व ठिकाणी त्यांचा गुणाकार ( $10 \times 20 = 200$ ) सारखाच राहतो.

२. काळ आणि काम: संकल्पना व प्रक्रिया

काळ आणि काम या प्रकरणातील उदाहरणे सोडवताना आपण 'माणसे', 'दिवस' आणि 'काम' या तिन्ही गोष्टींचा विचार करतो.

महत्त्वाचे नियम:

१. कामाचा दर: जर 'अ' एक काम १० दिवसांत पूर्ण करत असेल, तर याचा अर्थ तो एका दिवसात त्या कामाचा $\frac{1}{10}$ भाग पूर्ण करतो. हा त्याचा कामाचा दर किंवा क्षमता आहे.

२. क्षमता आणि वेळ: काम करण्याची क्षमता जेवढी जास्त, तेवढा वेळ कमी लागतो. म्हणजे क्षमता आणि वेळ यात व्यस्तचलन असते.

३. एकूण काम: गणित सोपे करण्यासाठी आपण एकूण काम नेहमी '१' मानण्याऐवजी दिलेल्या दिवसांचा 'ल.सा.वि.' मानतो.

ल.सा.वि. पद्धत (सर्वात सोपी पद्धत):

जेव्हा दोन किंवा अधिक लोक एकत्र काम करतात, तेव्हा ही पद्धत वापरावी.

पायऱ्या:

१. दिलेल्या सर्व दिवसांचा ल.सा.वि. काढा. हा ल.सा.वि. म्हणजेच 'एकूण काम' समजा.

२. एकूण कामाला प्रत्येकाच्या दिवसांनी भागून त्यांची 'एका दिवसाची क्षमता' काढा.

३. विचारल्याप्रमाणे क्षमतांची बेरीज किंवा वजाबाकी करा.

३. नळ आणि पाण्याची टाकी

नळ आणि टाकीची उदाहरणे ही पूर्णपणे काळ-काम या प्रकरणासारखीच असतात. फक्त येथे 'माणसांऐवजी' 'नळ' असतात आणि 'कामाऐवजी' 'टाकी भरणे' असते.

प्रमुख मुद्दे:

१. पाणी भरणारा नळ: हा नळ टाकीत पाणी जमा करतो, म्हणून याचे काम नेहमी 'धन' ( $+$ ) मानले जाते.

२. पाणी बाहेर काढणारा नळ (गळती किंवा छिद्र): हा नळ टाकी रिकामी करतो, म्हणून याचे काम नेहमी 'ऋण' ( $-$ ) मानले जाते.

३. टाकी भरणे किंवा रिकामी होणे: जर भरणारा नळ वेगाने पाणी भरत असेल आणि छिद्रातून पाणी हळू गतीने बाहेर जात असेल, तरच टाकी भरेल. जर छिद्र मोठे असेल आणि नळ लहान, तर टाकी कधीच भरणार नाही.

४. सर्व महत्त्वाच्या शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

येथे सर्व प्रकारच्या स्पर्धा परीक्षांसाठी उपयुक्त अशा ट्रिक्स सविस्तर उदाहरणांसह दिल्या आहेत.

ट्रिक १: दोन व्यक्तींचे एकत्रित काम

जेव्हा दोन व्यक्ती स्वतंत्रपणे काम करत असतील आणि त्यांना एकत्रित किती वेळ लागेल हे काढायचे असेल, तेव्हा:

सूत्र: $\frac{x \times y}{x + y}$
उदाहरण: अजय एक काम २० दिवसात आणि विजय तेच काम ३० दिवसात करतो. दोघांनी एकत्र काम सुरू केल्यास किती दिवसात संपेल?
स्पष्टीकरण:
$\text{दिवस} = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \text{ दिवस}$

ट्रिक २: 'M-D-H' सूत्र (अनेक मजूर आणि कामाचे प्रमाण)

जेव्हा मजूर, दिवस, तास आणि काम दिले जाते, तेव्हा हे जादुई सूत्र वापरावे.

सूत्र: $\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$
उदाहरण: १५ मजूर रोज ६ तास काम करून १० दिवसांत ६० खड्डे खणतात, तर २० मजूर रोज ८ तास काम करून ५ दिवसांत किती खड्डे खणतील?
स्पष्टीकरण:
$\frac{15 \times 10 \times 6}{60} = \frac{20 \times 5 \times 8}{W_2}$
$\frac{900}{60} = \frac{800}{W_2}$
$15 = \frac{800}{W_2} \Rightarrow W_2 = \frac{800}{15} = 53.33 \text{ खड्डे}$

ट्रिक ३: अन्नाचा साठा (किल्ल्यावरील उदाहरणे)

जेव्हा काही दिवसांनंतर लोक सोडून जातात किंवा नवीन येतात.

नियम: उरलेले अन्न = उरलेले लोक $\times$ नवीन दिवस.
उदाहरण: एका छावणीत ८०० सैनिकांना ३० दिवस पुरेल एवढे अन्न होते. ६ दिवसांनंतर २०० सैनिक निघून गेले, तर उरलेले अन्न उरलेल्या सैनिकांना किती दिवस पुरेल?
स्पष्टीकरण: ८०० सैनिकांचे ६ दिवसांचे अन्न संपले, म्हणजे त्यांचे २४ दिवसांचे अन्न शिल्लक होते. आता सैनिक ६०० उरले ( $800 - 200$ ).
$800 \times 24 = 600 \times D_2$
$D_2 = \frac{800 \times 24}{600} = \frac{8 \times 24}{6} = 32 \text{ दिवस}$

ट्रिक ४: कामाची कार्यक्षमता (Efficiency)

जर 'अ' हा 'ब' पेक्षा दुप्पट वेगाने काम करत असेल, तर 'अ' ला 'ब' च्या निम्माच वेळ लागेल.

सूत्र: कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर हे वेळेच्या गुणोत्तराच्या व्यस्त असते.
उदाहरण: राजूची काम करण्याची क्षमता संजूच्या तिप्पट आहे. जर संजूला एक काम करण्यास ४५ दिवस लागतात, तर राजूला किती दिवस लागतील?
स्पष्टीकरण: राजूची क्षमता ३ आणि संजूची १. वेळेचे गुणोत्तर १:३ होईल.
३ भाग = ४५ दिवस, तर १ भाग = १५ दिवस. राजूला १५ दिवस लागतील.

ट्रिक ५: नळ आणि टाकी (भरणारा व रिकामी करणारा)

जेव्हा एक नळ टाकी भरतो आणि त्याच वेळी छिद्रातून पाणी बाहेर जाते.

सूत्र: $\frac{x \times y}{y - x}$
उदाहरण: एक नळ टाकी १० तासात भरतो, पण टाकीला छिद्र असल्यामुळे टाकी भरण्यास १५ तास लागतात. तर फक्त छिद्रामुळे भरलेली टाकी किती वेळात रिकामी होईल?
स्पष्टीकरण:
$\text{वेळ} = \frac{10 \times 15}{15 - 10} = \frac{150}{5} = 30 \text{ तास}$

ट्रिक ६: आळीपाळीने काम करणे (Alternate Days)

जेव्हा लोक एकाआड एक दिवस काम करतात.

पद्धत: ल.सा.वि. काढून २ दिवसांचे १ चक्र तयार करा.
उदाहरण: 'अ' १२ दिवसात आणि 'ब' १८ दिवसात काम करतो. पहिल्या दिवशी 'अ' व दुसऱ्या दिवशी 'ब' अशा क्रमाने काम केल्यास काम किती दिवसात संपेल?
स्पष्टीकरण: ल.सा.वि. ३६. अ ची क्षमता ३, ब ची २.
दोन दिवसांत (१ चक्र) झालेले काम = $3 + 2 = 5$ युनिट्स.
७ चक्रे पूर्ण होतील ( $7 \times 5 = 35$ युनिट्स काम झाले).
दिवस झाले १४ ( $7 \times 2$ ). उरलेले १ युनिट काम अ पुढच्या दिवशी करेल.
उत्तर = $14 \frac{1}{3}$ दिवस.

ट्रिक ७: पुरुष, स्त्रिया आणि मुले (OR / AND प्रकार)

जेव्हा "किंवा" आणि "आणि" या शब्दांचा वापर होतो.

शॉर्टकट सूत्र: $\frac{\text{दिलेले दिवस}}{\left( \frac{\text{विचारलेले पुरुष}}{\text{दिलेले पुरुष}} + \frac{\text{विचारलेल्या स्त्रिया}}{\text{दिलेल्या स्त्रिया}} \right)}$
उदाहरण: २ पुरुष किंवा ४ स्त्रिया एक काम २० दिवसात करतात, तर ४ पुरुष आणि ४ स्त्रिया ते काम किती दिवसात करतील?
स्पष्टीकरण:
$\text{दिवस} = \frac{20}{\left( \frac{4}{2} + \frac{4}{4} \right)} = \frac{20}{2 + 1} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \text{ दिवस}$

५. सरावासाठी सोडवलेली उदाहरणे

खालील उदाहरणे ल.सा.वि. पद्धतीने सोडवून दाखवली आहेत, जी समजण्यास अत्यंत सोपी आहेत.

उदाहरण १ (काम सोडून जाणे):

अ आणि ब अनुक्रमे १२ आणि १५ दिवसांत काम संपवतात. त्यांनी एकत्र कामाला सुरुवात केली पण ३ दिवसांनंतर 'अ' काम सोडून गेला, तर उरलेले काम 'ब' किती दिवसांत पूर्ण करेल?

सोडवणूक:

१. १२ आणि १५ चा ल.सा.वि. काढू:

\begin{array}{c|c} 3 & 12, 15 \\ \hline & 4, 5 \end{array}

एकूण काम = $3 \times 4 \times 5 = 60$ युनिट्स.

२. क्षमता काढू:

अ ची क्षमता = $60 \div 12 = 5$ युनिट/दिवस.
ब ची क्षमता = $60 \div 15 = 4$ युनिट/दिवस.

३. ३ दिवसांचे एकत्रित काम = $(5 + 4) \times 3 = 27$ युनिट्स.

४. उरलेले काम = $60 - 27 = 33$ युनिट्स.

५. हे काम ब ला करायचे आहे = $33 \div 4 = 8.25$ दिवस.

उदाहरण २ (टाकीची गळती):

एका टाकीला दोन नळ आहेत. पहिला नळ ती टाकी ४ तासात भरतो आणि दुसरा नळ ती ६ तासात भरतो. तिसरा नळ ती टाकी ३ तासात रिकामी करतो. तिन्ही नळ एकत्र उघडल्यास टाकी किती वेळात भरेल?

सोडवणूक:

१. ४, ६ आणि ३ चा ल.सा.वि. = १२ (टाकीची क्षमता).

२. नळ अ ची क्षमता = $+3$ (भरणारा)

३. नळ ब ची क्षमता = $+2$ (भरणारा)

४. नळ क ची क्षमता = $-4$ (रिकामी करणारा)

५. एकत्रित क्षमता = $3 + 2 - 4 = 1$ युनिट/तास.

६. टाकी भरण्यास लागणारा वेळ = $12 \div 1 = 12$ तास.

६. स्पर्धा परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स

१. वेळेचे एकक: उदाहरणात वेळ तास, मिनिटे किंवा दिवस यामध्ये दिली असेल तर ती सर्वत्र सारखी करून घ्या.

२. क्षमतेचे महत्त्व: नेहमी लक्षात ठेवा, मजुरी ही कामाच्या दिवसांवर नाही तर 'क्षमतेवर' वाटली जाते.

३. शॉर्ट ट्रिक्सचा सराव: ट्रिक्स पाठ करण्यापेक्षा त्या कशा तयार झाल्या हे समजून घेतल्यास परीक्षेत गोंधळ होत नाही.

४. ल.सा.वि. तोंडी काढणे: कमीत कमी ५० पर्यंतच्या संख्यांचे ल.सा.वि. तोंडी काढण्याचा सराव करा, यामुळे वेळ वाचतो.

निष्कर्ष

चलन, काळ-काम आणि नळ-टाकी हे तिन्ही घटक एकमेकांच्या साखळीने जोडलेले आहेत. ल.सा.वि. पद्धत आणि वरील शॉर्ट ट्रिक्सचा वापर केल्यास तुम्ही कोणत्याही स्पर्धा परीक्षेत या घटकांवरील गुण निश्चितपणे मिळवू शकता. सतत सराव हाच गणितात यश मिळवण्याचा एकमेव मार्ग आहे.