काळ, काम आणि वेग

या लेखात आपण वेग, वेळ आणि अंतर यातील मूलभूत संबंधांपासून ते आगगाडी आणि नाव-प्रवाह यांसारख्या कठीण उपप्रकारांपर्यंत सर्व माहिती अगदी सोप्या भाषेत अभ्यासणार आहोत.

१. मूलभूत संकल्पना आणि सूत्रे

वेळेच्या एका विशिष्ट एककात कापलेल्या अंतराला वेग असे म्हणतात. अंतर, वेळ आणि वेग हे तिन्ही घटक एकमेकांवर अवलंबून असतात. त्यांच्यातील संबंध खालील मुख्य सूत्राने दर्शविला जातो:

मुख्य सूत्र:

\text{वेग} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेळ}}

या एकाच सूत्रावरून आपण इतर दोन सूत्रे तयार करू शकतो:

१. $\text{अंतर} = \text{वेग} \times \text{वेळ}$

२. $\text{वेळ} = \frac{\text{अंतर}}{\text{वेग}}$

एकके (Units) आणि त्यांचे रूपांतरण

स्पर्धा परीक्षेत सर्वात मोठी चूक एकके समान नसल्यामुळे होते. जर अंतर किलोमीटरमध्ये असेल, तर वेळ तासात असायला हवी. जर अंतर मीटरमध्ये असेल, तर वेळ सेकंदात असायला हवी.

महत्वाचे रूपांतरण नियम:

किमी/तास (km/hr) चे मीटर/सेकंद (m/s) मध्ये रूपांतर करण्यासाठी: दिलेल्या वेगाला $\frac{5}{18}$ ने गुणावे.
- उदाहरण: $72$ किमी/तास = $72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20$ मी/सेकंद.
मीटर/सेकंद (m/s) चे किमी/तास (km/hr) मध्ये रूपांतर करण्यासाठी: दिलेल्या वेगाला $\frac{18}{5}$ ने गुणावे.
- उदाहरण: $25$ मी/सेकंद = $25 \times \frac{18}{5} = 5 \times 18 = 90$ किमी/तास.

हे लक्षात कसे ठेवायचे?

जेव्हा आपण मोठ्या एककाकडून (किमी) लहान एककाकडे (मीटर) जातो, तेव्हा लहान संख्या ( $5$ ) वर ठेवायची. जेव्हा लहान कडून मोठ्याकडे येतो, तेव्हा मोठी संख्या ( $18$ ) वर ठेवायची.

२. सरासरी वेग (Average Speed)

जेव्हा एखादी व्यक्ती दोन समान अंतरे वेगवेगळ्या वेगाने कापते, तेव्हा सरासरी वेग काढण्यासाठी साधी बेरीज करून दोनने भागणे चुकीचे ठरते. त्यासाठी खालील सूत्र वापरावे:

नियम १: जेव्हा अंतर समान असते

जर एखादी व्यक्ती $x$ किमी/तास वेगाने जाते आणि $y$ किमी/तास वेगाने परत येते, तर संपूर्ण प्रवासाचा सरासरी वेग:

\text{सरासरी वेग} = \frac{2xy}{x+y}

उदाहरण: एक मुलगा शाळेत $20$ किमी/तास वेगाने जातो आणि $30$ किमी/तास वेगाने परत येतो, तर त्याचा सरासरी वेग किती?

\text{सरासरी वेग} = \frac{2 \times 20 \times 30}{20+30} = \frac{1200}{50} = 24 \text{ किमी/तास}

नियम २: जेव्हा अंतर भिन्न असते

\text{सरासरी वेग} = \frac{\text{एकूण कापलेले अंतर}}{\text{प्रवासाला लागलेला एकूण वेळ}}

३. आगगाडीवर आधारित उदाहरणे (Problems on Trains)

आगगाडीचे प्रश्न सोडवताना काही विशिष्ट नियम लक्षात ठेवणे अनिवार्य आहे, कारण येथे आगगाडीची स्वतःची लांबी अंतराचा भाग बनते.

नियम १: आगगाडी जेव्हा खांब, माणूस किंवा झाडाला ओलांडते

जेव्हा आगगाडी एखाद्या खांबाला किंवा उभ्या माणसाला ओलांडते, तेव्हा तिने कापलेले अंतर हे स्वतःच्या लांबीइतकेच असते.

\text{वेळ} = \frac{\text{आगगाडीची लांबी}}{\text{आगगाडीचा वेग}}

नियम २: आगगाडी जेव्हा पूल, बोगदा किंवा प्लॅटफॉर्मला ओलांडते

अशा वेळी आगगाडीला स्वतःची लांबी + त्या वस्तूची लांबी असे एकूण अंतर कापायचे असते.

\text{वेळ} = \frac{\text{आगगाडीची लांबी} + \text{पुलाची लांबी}}{\text{आगगाडीचा वेग}}

नियम ३: सापेक्ष वेग (Relative Speed)

विरुद्ध दिशा: जर दोन गाड्या एकमेकींच्या विरुद्ध दिशेने येत असतील, तर त्यांच्या वेगाची बेरीज करावी.
$\text{सापेक्ष वेग} = V_1 + V_2$
समान दिशा: जर दोन गाड्या एकाच दिशेने जात असतील, तर त्यांच्या वेगातील फरक (वजाबाकी) घ्यावा.
$\text{सापेक्ष वेग} = V_1 - V_2$

४. नाव आणि प्रवाह (Boats and Streams)

पाण्यातील प्रवाहाचा वेग नावाच्या वेगावर परिणाम करतो. यात दोन महत्त्वाच्या संकल्पना आहेत:

१. प्रवाहाच्या दिशेने वेग (Downstream): जेव्हा नाव प्रवाहाच्या दिशेने जाते, तेव्हा प्रवाहाचा वेग नावेला मदत करतो.

\text{प्रवाहाच्या दिशेने वेग} = \text{नावेचा वेग} + \text{प्रवाहाचा वेग}

२. प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग (Upstream): जेव्हा नाव प्रवाहाच्या विरुद्ध जाते, तेव्हा प्रवाहाचा वेग नावेला विरोध करतो.

\text{प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग} = \text{नावेचा वेग} - \text{प्रवाहाचा वेग}

महत्त्वाची सूत्रे:

स्थिर पाण्यातील नावेचा वेग $= \frac{1}{2} (\text{प्रवाहाच्या दिशेने वेग} + \text{प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग})$
पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग $= \frac{1}{2} (\text{प्रवाहाच्या दिशेने वेग} - \text{प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग})$

५. स्पर्धा परीक्षांसाठी 'स्मार्ट ट्रिक्स'

१. गुणोत्तर पद्धत (Ratio Method): जर अंतर स्थिर असेल, तर वेग आणि वेळ एकमेकांच्या व्यस्त प्रमाणात असतात.

जर वेगाचे गुणोत्तर $a:b$ असेल, तर वेळेचे गुणोत्तर $b:a$ असेल. या ट्रिकमुळे लांबलचक सूत्रे वापरण्याची गरज उरत नाही.

२. वेळेतील फरक (Time Difference Trick): जर एखादी व्यक्ती $x$ वेगाने गेल्यावर $t_1$ उशीर होतो आणि $y$ वेगाने गेल्यावर $t_2$ लवकर पोहोचते, तर अंतर काढण्याचे सूत्र:

\text{अंतर} = \frac{x \times y}{y - x} \times (\text{वेळेतील एकूण फरक})

३. $\frac{5}{18}$ ची किमया: रेल्वेच्या उदाहरणात शक्यतो वेग $18$ च्या पटीत असतो ( $18, 36, 54, 72, 90$ ). जर वेग $72$ असेल ( $18 \times 4$ ), तर मीटर/सेकंद मध्ये तो $5 \times 4 = 20$ असेल. यामुळे प्रत्यक्ष गुणाकार करण्याची गरज पडत नाही.

६. सोडवलेली उदाहरणे (Solved Examples)

प्रश्न १: एक आगगाडी $72$ किमी/तास वेगाने एका खांबाला $15$ सेकंदात ओलांडते, तर त्या गाडीची लांबी किती?

स्पष्टीकरण:

प्रथम वेग मीटर/सेकंद मध्ये करू:

\text{वेग} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ मी/सेकंद}

आता, गाडीची लांबी म्हणजेच कापलेले अंतर:

\text{अंतर} = \text{वेग} \times \text{वेळ}

\text{अंतर} = 20 \times 15 = 300 \text{ मीटर}

म्हणून, आगगाडीची लांबी $300$ मीटर आहे.

प्रश्न २: $250$ मीटर लांबीची आगगाडी $150$ मीटर लांबीचा पूल $20$ सेकंदात ओलांडते, तर गाडीचा वेग किमी/तास मध्ये किती?

स्पष्टीकरण:

एकूण कापलेले अंतर = गाडीची लांबी + पुलाची लांबी

\text{एकूण अंतर} = 250 + 150 = 400 \text{ मीटर}

\text{वेग (मी/से)} = \frac{400}{20} = 20 \text{ मी/सेकंद}

आता किमी/तास मध्ये रूपांतर करू:

\text{वेग} = 20 \times \frac{18}{5} = 4 \times 18 = 72 \text{ किमी/तास}

७. महत्वाच्या टिप्स

प्रश्न नीट वाचा: अंतर मीटरमध्ये आहे की किलोमीटरमध्ये, हे आधी तपासा.
एकक समानता: सर्व एकके एकाच प्रणालीत (m/s किंवा km/hr) असल्याची खात्री करा.
सापेक्ष वेग: दोन वस्तूंची गती असेल तर दिशा लक्षात घेऊन सापेक्ष वेग काढा.
पर्यायांचा वापर: काही वेळा सूत्रापेक्षा पर्यायावरून जाणे जलद ठरते.