गुणोत्तर, प्रमाण आणि भागीदारी

१. गुणोत्तर (Ratio) म्हणजे काय?

दैनंदिन जीवनात आपण अनेकदा तुलना करतो. उदाहरणार्थ, "अजयचे वय विजयच्या वयाच्या दुप्पट आहे" किंवा "या मिश्रणात दुधापेक्षा पाणी जास्त आहे". जेव्हा आपण दोन समान प्रकारच्या राशींची (Quantities) भागाकाराच्या स्वरूपात तुलना करतो, तेव्हा त्याला गुणोत्तर असे म्हणतात.

गुणोत्तराचे काही महत्त्वाचे नियम:

गुणोत्तर हे नेहमी दोन 'समान' एकक असलेल्या राशींमध्येच काढले जाते. जर एक राशी किलोग्राममध्ये आणि दुसरी ग्रॅममध्ये असेल, तर आधी त्यांचे एकक समान करावे लागते.
गुणोत्तराला स्वतःचे कोणतेही एकक नसते (उदा. $5:3$ ला मीटर किंवा रुपये असे लावत नाहीत).
गुणोत्तरातील पदांना आपण $a:b$ किंवा $\frac{a}{b}$ अशा स्वरूपात लिहितो. येथे $a$ ला 'पूर्वपद' आणि $b$ ला 'उत्तरपद' म्हणतात.
गुणोत्तराच्या दोन्ही पदांना एकाच शून्यव्यतिरिक्त संख्येने गुणले किंवा भागले, तर गुणोत्तरात बदल होत नाही.

उदाहरण:

एका वर्गात $20$ मुले आणि $30$ मुली आहेत. तर मुले आणि मुलींचे गुणोत्तर किती?

येथे मुले ( $20$ ) आणि मुली ( $30$ ) यांचे गुणोत्तर = $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ म्हणजेच $2:3$ आहे.

याचा अर्थ असा की, त्या वर्गात प्रत्येक $2$ मुलांमागे $3$ मुली आहेत.

२. प्रमाण (Proportion)

जेव्हा दोन गुणोत्तरे समान असतात, तेव्हा त्या चारही संख्या प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. जर $a:b$ आणि $c:d$ ही दोन गुणोत्तरे समान असतील, तर आपण ते खालीलप्रमाणे लिहितो:

$a:b :: c:d$ किंवा $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

प्रमाणाचे महत्त्वाचे गुणधर्म:

अंत्यपदांचा गुणाकार = मध्यपदांचा गुणाकार: जर $a, b, c, d$ प्रमाणात असतील, तर $a \times d = b \times c$ .
चतुर्थ प्रमाणपद (Fourth Proportional): $a, b, c$ या तीन संख्या दिल्या असता चौथे पद $x$ मानल्यास, $x = \frac{b \times c}{a}$ होते.
तृतीय प्रमाणपद (Third Proportional): जर $a, b, x$ प्रमाणात असतील (म्हणजे $a, b, b, x$ प्रमाणात), तर $x = \frac{b^2}{a}$ .
भूमिती मध्य / मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportional): $a$ आणि $b$ या दोन संख्यांचे मध्यम प्रमाणपद $x$ असल्यास, $x^2 = a \times b$ म्हणजेच $x = \sqrt{ab}$ .

३. भागीदारी (Partnership)

जेव्हा दोन किंवा अधिक व्यक्ती एकत्र येऊन एखादा व्यवसाय सुरू करतात, तेव्हा त्यांना 'भागीदार' म्हणतात. व्यवसायातून मिळणारा नफा किंवा होणारा तोटा हा त्यांनी गुंतवलेल्या भांडवलावर आणि कालावधीवर अवलंबून असतो.

भागीदारीचे मूलभूत सूत्र:

नफ्याचे गुणोत्तर = (भांडवल $\times$ मुदत) यांचे गुणोत्तर

समजा 'अ' ने $C_1$ भांडवल $T_1$ काळासाठी गुंतवले आणि 'ब' ने $C_2$ भांडवल $T_2$ काळासाठी गुंतवले, तर त्यांच्या नफ्याचे गुणोत्तर ( $P_1:P_2$ ) खालीलप्रमाणे असेल:

\frac{P_1}{P_2} = \frac{C_1 \times T_1}{C_2 \times T_2}

जर भांडवल सारखे असेल, तर नफा कालावधीच्या प्रमाणात वाटला जातो. जर कालावधी सारखा असेल, तर नफा भांडवलाच्या प्रमाणात वाटला जातो.

४. महत्वाच्या शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

स्पर्धा परीक्षेत वेळ वाचवणे सर्वात महत्त्वाचे असते. खालील ट्रिक्स तुम्हाला प्रश्नांची उत्तरे काही सेकंदात काढण्यास मदत करतील:

ट्रिक १: संयुक्त गुणोत्तर काढणे (Finding Combined Ratio)

जर $A:B = 2:3$ आणि $B:C = 4:5$ दिले असेल, तर $A:B:C$ कसे काढायचे?

मांडणी करा:
$A : B$
$B : C$
रिकाम्या जागी शेजारची संख्या लिहा:
$2 : 3 : (3)$ <-- येथे $B$ च्या शेजारी $3$ लिहिला.
$(4) : 4 : 5$ <-- येथे $B$ च्या शेजारी $4$ लिहिला.
उभा गुणाकार करा:
$A = 2 \times 4 = 8$
$B = 3 \times 4 = 12$
$C = 3 \times 5 = 15$
उत्तर: $A:B:C = 8:12:15$

ट्रिक २: व्यस्त गुणोत्तर (Inverse Ratio)

जर $2A = 3B = 4C$ असेल, तर $A:B:C$ शोधण्यासाठी त्या संख्यांचा लसावि घ्या. $2, 3, 4$ चा लसावि $12$ आहे.

$A = \frac{12}{2} = 6$ , $B = \frac{12}{3} = 4$ , $C = \frac{12}{4} = 3$ .

उत्तर: $6:4:3$ .

ट्रिक ३: नाणी आणि मूल्य (Coins and Value)

जर नाण्यांची संख्या दिली असेल, तर त्यांना त्यांच्या मूल्याने (५० पैसे = $\frac{1}{2}$ रुपया) गुणून रकमेचे गुणोत्तर काढा.

५. परीक्षेत विचारले जाणारे प्रश्न प्रकार

प्रकार १: साधे गुणोत्तर आणि संख्या शोधणे

प्रश्न: दोन संख्यांचे गुणोत्तर $5:7$ असून त्यांची बेरीज $720$ आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?

स्पष्टीकरण:

समजा त्या संख्या $5x$ आणि $7x$ आहेत.

दिलेल्या अटीनुसार, $5x + 7x = 720$

$12x = 720$

$x = \frac{720}{12} = 60$

पहिली संख्या $= 5 \times 60 = 300$

दुसरी संख्या $= 7 \times 60 = 420$

प्रकार २: मध्यम प्रमाणपद शोधणे

प्रश्न: $9$ आणि $16$ या संख्यांचे मध्यम प्रमाणपद काढा.

स्पष्टीकरण:

सूत्र: मध्यम प्रमाणपद $= \sqrt{a \times b}$

मध्यम प्रमाणपद $= \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12$ .

प्रकार ३: भागीदारीतील नफा वाटणी

प्रश्न: अ, ब आणि क यांनी अनुक्रमे $20000$ , $30000$ आणि $40000$ रुपये गुंतवून एक व्यवसाय सुरू केला. वर्षाअखेर त्यांना $27000$ रुपये नफा झाला, तर 'ब' चा वाटा किती?

स्पष्टीकरण:

येथे काळ समान (१ वर्ष) आहे, म्हणून नफा भांडवलाच्या प्रमाणात वाटला जाईल.

भांडवलाचे गुणोत्तर $= 20000 : 30000 : 40000 = 2 : 3 : 4$

गुणोत्तराची बेरीज $= 2 + 3 + 4 = 9$

'ब' चा वाटा $= \frac{3}{9} \times 27000$

'ब' चा वाटा $= \frac{1}{3} \times 27000 = 9000$ रुपये.

प्रकार ४: पिशवीतील नाण्यांवरील प्रश्न

प्रश्न: एका पिशवीत $1$ रुपया, $50$ पैसे आणि $25$ पैशांची नाणी $5:6:8$ या प्रमाणात आहेत. जर पिशवीत एकूण $420$ रुपये असतील, तर $50$ पैशांची नाणी किती?

स्पष्टीकरण:

नाण्यांचे गुणोत्तर $= 5x, 6x, 8x$

रुपयातील मूल्य:

$1$ रुपयाची नाणी $= 5x \times 1 = 5x$

$50$ पैशांची नाणी $= 6x \times 0.50 = 3x$

$25$ पैशांची नाणी $= 8x \times 0.25 = 2x$

एकूण रक्कम $= 5x + 3x + 2x = 10x$

दिले आहे, $10x = 420 \Rightarrow x = 42$

$50$ पैशांची नाणी $= 6x = 6 \times 42 = 252$ नाणी.

६. सरावासाठी महत्त्वाचे

एकके समान करा: गुणोत्तर काढताना मीटरचे सेंटीमीटरमध्ये किंवा तासांचे मिनिटांत रूपांतर करायला विसरू नका.
पर्यायांचा वापर: भागीदारीच्या प्रश्नात अनेकदा पर्यायांवरून तिरकस गुणाकार करून उत्तर लवकर मिळते.
मिश्रण (Alligation): गुणोत्तराचे प्रश्न सोडवताना 'मिश्रण' पद्धत वापरली तर वेळ वाचतो.
लसावि पद्धत: जेव्हा $A/2 = B/3 = C/4$ असे दिले जाते, तेव्हा $A:B:C = 2:3:4$ हे थेट उत्तर असते.

७. गुणोत्तर आणि प्रमाण वापरून भागाकार पद्धत (Division Method)

जेव्हा आपल्याला एखादी मोठी रक्कम विशिष्ट प्रमाणात विभागायची असते, तेव्हा खालील पायऱ्या वापरा:

१. दिलेल्या गुणोत्तराची बेरीज करा.

२. एकूण रकमेला त्या बेरजेने भागा. याला आपण 'एका भागाची किंमत' म्हणू.

३. ही एका भागाची किंमत प्रत्येक गुणोत्तराला गुणून प्रत्यक्ष वाटा काढा.

उदाहरण (भागाकार पद्धत):

$1200$ रुपये $A, B$ आणि $C$ मध्ये $2:3:5$ या प्रमाणात विभागल्यास $C$ ला किती मिळतील?

\begin{array}{r l} \text{गुणोत्तर बेरीज} = & 2 + 3 + 5 = 10 \\ \text{एक भाग} = & 1200 \div 10 = 120 \\ C \text{ चा वाटा} = & 5 \times 120 = 600 \end{array}

८. भागीदारीत मुदत भिन्न असल्यास (Variable Time)

अनेकदा परीक्षेत असा प्रश्न येतो की, एक जोडीदार काही महिन्यांनंतर व्यवसायात येतो. अशा वेळी त्याचा नफा फक्त तो जितके महिने व्यवसायात होता त्या काळासाठीच मोजला जातो.

उदा: 'अ' ने $10000$ रुपये लावून व्यवसाय सुरू केला. $४$ महिन्यांनंतर 'ब' $15000$ रुपये घेऊन त्यात सामील झाला. वर्षाअखेर झालेल्या नफ्याचे गुणोत्तर काय?

स्पष्टीकरण:

'अ' चे भांडवल वर्षाभर म्हणजे $12$ महिने होते.

'ब' $4$ महिन्यांनंतर आला, म्हणजे त्याचे भांडवल $12 - 4 = 8$ महिने होते.

नफ्याचे गुणोत्तर $= (10000 \times 12) : (15000 \times 8)$

$= 120000 : 120000$

$= 1 : 1$

म्हणजेच दोघांना समान नफा मिळेल.

९. परीक्षेत विचारले जाणारे संभाव्य प्रश्न प्रकार

प्रश्न प्रकार ५: दूध आणि पाण्याचे मिश्रण

एका $40$ लिटर मिश्रणात दूध व पाण्याचे गुणोत्तर $3:1$ आहे. त्यात किती पाणी मिळवावे म्हणजे गुणोत्तर $2:1$ होईल?

ट्रिक:

सुरुवातीचे दूध $= \frac{3}{4} \times 40 = 30$ लिटर.

सुरुवातीचे पाणी $= 10$ लिटर.

नवीन मिश्रणात दूध $30$ लिटरच राहणार आहे, पण त्याचे प्रमाण $2$ भाग होणार आहे.

जर $2$ भाग $= 30$ लिटर, तर $1$ भाग (पाणी) $= 15$ लिटर.

आधी पाणी $10$ लिटर होते, आता $15$ लिटर हवे.

म्हणजेच $15 - 10 = 5$ लिटर पाणी मिळवावे लागेल.

प्रश्न: जर $x, 12, 18$ परंपरीत प्रमाणात असतील, तर $x$ ची किंमत किती?

स्पष्टीकरण:

येथे $12$ हे मध्यम प्रमाणपद आहे.

12^2 = x \times 18

144 = 18x

x = \frac{144}{18} = 8

प्रकार २: पिशवीतील नाण्यांचा प्रश्न

प्रश्न: एका पिशवीत ५ रुपये, २ रुपये व १ रुपयाची नाणी $3:5:7$ या प्रमाणात आहेत. पिशवीत एकूण ६४० रुपये असल्यास, २ रुपयांची नाणी किती?

स्पष्टीकरण:

१. नाणी मानू: $3x, 5x, 7x$

२. त्यांचे मूल्य काढा:

५ रु. नाणी $= 3x \times 5 = 15x$
२ रु. नाणी $= 5x \times 2 = 10x$
१ रु. नाणी $= 7x \times 1 = 7x$
३. एकूण बेरीज $= 15x + 10x + 7x = 32x$
४. $32x = 640 \Rightarrow x = 20$
५. २ रुपयांची नाणी $= 5x = 5 \times 20 = 100$ नाणी.

प्रकार ३: वयवारी आणि गुणोत्तर

प्रश्न: सतीश आणि अभय यांच्या आजच्या वयाचे गुणोत्तर $3:2$ आहे. ५ वर्षांनंतर त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर $4:3$ होईल, तर अभयचे आजचे वय किती?

स्पष्टीकरण:

येथे गुणोत्तरातील फरक $(4-3)$ आणि $(3-2)$ हा $1$ आहे.

हा १ भागाचा फरक ५ वर्षांमुळे आला आहे.

म्हणून, १ भाग $= 5$ वर्षे.

अभयचे आजचे वय (२ भाग) $= 2 \times 5 = 10$ वर्षे.

(टीप: जर फरक समान नसेल, तर तो समान करून घ्यावा लागतो.)

प्रकार ४: मिश्रण (Allegation Method)

प्रश्न: ७२ लिटर मिश्रणात दूध व पाण्याचे गुणोत्तर $7:2$ आहे. त्यात किती पाणी मिळवावे म्हणजे गुणोत्तर $7:3$ होईल?

स्पष्टीकरण:

सुरुवातीचे दूध $7$ भाग आणि पाणी $2$ भाग आहे. एकूण $9$ भाग.

$9$ भाग $= 72$ लिटर $\Rightarrow 1$ भाग $= 8$ लिटर.

नवीन गुणोत्तरामध्ये दूध $7$ भागच आहे, पण पाणी $2$ वरून $3$ झाले आहे (म्हणजे १ भाग वाढला).

वाढवलेले पाणी $= 1$ भाग $= 8$ लिटर.

६. सरावासाठी अधिक कठीण उदाहरणे

उदाहरण १: दोन संख्यांचा गुणाकार $1575$ असून त्यांचे गुणोत्तर $7:9$ आहे, तर त्या संख्यांमधील फरक किती?

सोडवण्याची पद्धत:

समजा संख्या $7x$ आणि $9x$ आहेत.

7x \times 9x = 1575

63x^2 = 1575

x^2 = \frac{1575}{63} = 25 \quad \Rightarrow \quad x = 5

संख्या $35$ आणि $45$ आहेत. फरक $= 45 - 35 = 10$ .

उदाहरण २: $A$ आणि $B$ ने एका व्यापारात $4:5$ या प्रमाणात भांडवल गुंतवले. १० महिन्यांनंतर $B$ ने त्याचे भांडवल काढून घेतले. वर्षाअखेर त्यांना $4:3$ या प्रमाणात नफा झाला, तर $A$ चे भांडवल किती महिने होते?

सोडवण्याची पद्धत:

समजा $A$ चे भांडवल $x$ महिने होते.

\frac{4 \times x}{5 \times 10} = \frac{4}{3}

\frac{4x}{50} = \frac{4}{3} \Rightarrow 3x = 50 \Rightarrow x = 16 \frac{2}{3}

महिने.

१०. निष्कर्ष

गुणोत्तर, प्रमाण आणि भागीदारी हे घटक गणितातील 'कॅल्क्युलेशन'चा वेग वाढवण्यासाठी खूप मदत करतात. ८ वी स्कॉलरशिप परीक्षेपासून ते वरिष्ठ पदांच्या MPSC परीक्षे पर्यंत यावर किमान २ ते ३ प्रश्न हमखास विचारले जातात. वरील सूत्रे, ट्रिक्स आणि उदाहरणांचा नियमित सराव केल्यास तुम्हाला या विषयात पैकीच्या पैकी गुण मिळू शकतात.

लक्षात ठेवा, गणित हा विषय वाचण्याचा नसून तो सोडवण्याचा आहे. त्यामुळे जास्तीत जास्त सराव (Practice) हाच यशाचा एकमेव मार्ग आहे.