शेकडेवारी

'शेकडेवारी' (Percentage) हा असा एक विषय आहे, ज्याचा पाया पक्का असेल तर तुम्हाला नफा-तोटा, सरळव्याज, चक्रवाढ व्याज आणि माहितीचे विश्लेषण (Data Interpretation) यांसारखे अनेक विषय अतिशय सोपे वाटू लागतात. स्पर्धा परीक्षेसाठी हा अत्यंत कळीचा घटक आहे. या लेखामध्ये आपण शेकडेवारी म्हणजे काय, इथपासून ते कठीण प्रश्नांच्या शॉर्ट ट्रिक्सपर्यंत सर्व काही सविस्तर आणि सोप्या मराठी भाषेत पाहणार आहोत.

१. शेकडेवारी म्हणजे काय? (Definition)

'शेकडा' या शब्दाचा अर्थ होतो 'शंभर'. जेव्हा आपण एखाद्या संख्येची तुलना १०० शी करतो, तेव्हा त्याला आपण 'शेकडेवारी' किंवा 'टक्केवारी' असे म्हणतो. गणितामध्ये टक्केवारी दर्शवण्यासाठी $\%$ हे चिन्ह वापरले जाते.

समजा, तुम्हाला परीक्षेत १०० पैकी ७५ गुण मिळाले, तर आपण म्हणतो की तुम्हाला $७५\%$ गुण मिळाले. पण जर परीक्षा ५०० गुणांची असेल आणि तुम्हाला ३७५ गुण मिळाले असतील, तरीही त्याची तुलना १०० शी केली तर ती $७५\%$ येते. म्हणजेच, शेकडेवारी हे एक असे प्रमाण आहे ज्याचा छेद नेहमी १०० असतो.

उदाहरणासह स्पष्टीकरण:

$२५\%$ याचा अर्थ होतो १०० भागांपैकी २५ भाग.

गणिती भाषेत: $२५\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

२. शेकडेवारीची महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)

कोणतेही गणित सोडवण्यापूर्वी त्यामागील सूत्र माहित असणे गरजेचे आहे. शेकडेवारीमध्ये खालील सूत्रे सर्वात जास्त वापरली जातात:

१. दिलेल्या संख्येची टक्केवारी काढणे:

$X$ चे $Y\%$ = $\frac{X \times Y}{100}$

उदाहरण: ८०० चे $१५\%$ किती?

उत्तर: $\frac{800 \times 15}{100} = 8 \times 15 = 120$

२. एखादी संख्या दुसऱ्या संख्येच्या किती टक्के आहे हे काढणे:

$A$ ही संख्या $B$ च्या किती टक्के आहे? = $\frac{A}{B} \times 100$

उदाहरण: ४० ही संख्या २०० च्या किती टक्के आहे?

उत्तर: $\frac{40}{200} \times 100 = \frac{40}{2} = 20\%$

३. टक्केवारीतील वाढ किंवा घट काढणे:

वाढ किंवा घट प्रतिशत = $\frac{\text{फरक}}{\text{मूळ संख्या}} \times 100$

३. अपूर्णांक आणि टक्केवारी यांचा संबंध (Fraction to Percentage Table)

स्पर्धा परीक्षेत वेळ वाचवण्यासाठी काही महत्त्वाचे अपूर्णांक आणि त्यांच्या टक्केवारीच्या किमती तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे. यामुळे मोठ्या गुणाकाराची गरज पडत नाही.

अपूर्णांक (Fraction)	टक्केवारी (Percentage)
$\frac{1}{1}$	$100\%$
$\frac{1}{2}$	$50\%$
$\frac{1}{3}$	$33.33\%$
$\frac{1}{4}$	$25\%$
$\frac{1}{5}$	$20\%$
$\frac{1}{6}$	$16.66\%$
$\frac{1}{8}$	$12.5\%$
$\frac{1}{10}$	$10\%$
$\frac{1}{20}$	$5\%$

का महत्त्वाची आहे ही सारणी?

समजा विचारले, ४८० चे $१२.५\%$ किती?

सामान्य पद्धत: $\frac{480 \times 12.5}{100}$ (वेळखाऊ)

शॉर्ट ट्रिक: आपल्याला माहीत आहे की $१२.५\% = \frac{1}{8}$ .

म्हणून, $480 \times \frac{1}{8} = 60$ . (अगदी २ सेकंदात उत्तर!)

४. शेकडेवारीचे विविध प्रकार आणि स्पष्टीकरण

आता आपण स्पर्धा परीक्षेत विचारल्या जाणाऱ्या प्रश्नांचे प्रकार आणि ते सोडवण्याच्या पद्धती पाहूया.

प्रकार १: साधी टक्केवारी काढणे

प्रश्न: एका गावात ३००० लोक राहतात. त्यापैकी $४०\%$ स्त्रिया आहेत, तर गावात पुरुषांची संख्या किती?

स्पष्टीकरण:

गावातील एकूण लोकसंख्या $= १००\%$ .

स्त्रिया $= ४०\%$ .

म्हणून, पुरुष $= १००\% - ४०\% = ६०\%$ .

आता आपल्याला ३००० चे $६०\%$ काढायचे आहेत.

पुरुष संख्या $= \frac{3000 \times 60}{100}$

$= 30 \times 60 = 1800$

उत्तर: गावात १८०० पुरुष आहेत.

प्रकार २: टक्केवारीतील वाढ किंवा घट

प्रश्न: एका वस्तूची किंमत ५०० रुपयांवरून ६०० रुपये झाली, तर किमतीत किती टक्के वाढ झाली?

स्पष्टीकरण:

मूळ किंमत $= ५००$ रुपये.

नवी किंमत $= ६००$ रुपये.

वाढ $= ६०० - ५०० = १००$ रुपये.

वाढ प्रतिशत $= \frac{\text{वाढ}}{\text{मूळ किंमत}} \times 100$

$= \frac{100}{500} \times 100 = \frac{100}{5} = 20\%$

उत्तर: किमतीत $२०\%$ वाढ झाली.

५. 'शॉर्ट ट्रिक्स' (Short Tricks) - परीक्षेसाठी खास

स्पर्धा परीक्षेत प्रत्येक सेकंद मोलाचा असतो. खालील ट्रिक्सचा वापर करून तुम्ही मोठी गणिते तोंडी सोडवू शकता.

ट्रिक १: 'AB' नियम (जेव्हा दोन गुणाकार संख्यांमध्ये बदल होतो)

जर वस्तूची किंमत $x\%$ ने वाढली आणि वापर किती टक्क्यांनी कमी करावा जेणेकरून खर्च वाढणार नाही?

सूत्र: $\frac{x}{100 + x} \times 100$

प्रश्न: साखरेची किंमत $२५\%$ ने वाढली, तर साखरेचा वापर किती टक्क्यांनी कमी करावा म्हणजे खर्च वाढणार नाही?

सोडवण्याची पद्धत:

$x = 25$

कमी करावा लागणारा वापर $= \frac{25}{100 + 25} \times 100$

$= \frac{25}{125} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\%$

उत्तर: साखरेचा वापर $२०\%$ कमी करावा लागेल.

ट्रिक २: सलग वाढ किंवा घट (Successive Percentage)

जर एखाद्या वस्तूची किंमत पहिल्यांदा $x\%$ ने वाढली आणि पुन्हा $y\%$ ने वाढली/घटली, तर एकूण बदल:

सूत्र: $x + y + \frac{x \times y}{100}$

(टीप: वाढीसाठी '+' चिन्ह आणि घटीसाठी '-' चिन्ह वापरावे.)

प्रश्न: एका शहराची लोकसंख्या पहिल्या वर्षी $१०\%$ ने वाढली आणि दुसऱ्या वर्षी $२०\%$ ने वाढली. तर एकूण किती टक्के वाढ झाली?

सोडवण्याची पद्धत:

$x = +10, y = +20$

एकूण वाढ $= 10 + 20 + \frac{10 \times 20}{100}$

$= 30 + 2 = 32\%$

उत्तर: एकूण लोकसंख्येत $३२\%$ वाढ झाली.

६. स्पर्धा परीक्षेत विचारले जाणारे महत्वाचे प्रश्न प्रकार

प्रकार ३: परीक्षेतील गुण आणि टक्केवारी

प्रश्न: एका परीक्षेत उत्तीर्ण होण्यासाठी $३५\%$ गुणांची आवश्यकता होती. एका मुलाला ८० गुण मिळाले आणि तो २५ गुणांनी अनुत्तीर्ण झाला. तर ती परीक्षा एकूण किती गुणांची होती?

स्पष्टीकरण:

मुलाला मिळाले $= ८०$ गुण.

अनुत्तीर्ण होण्यास कारणीभूत गुण $= २५$ .

म्हणजेच, पास होण्यासाठी लागणारे गुण $= ८० + २५ = १०५$ .

पण प्रश्नानुसार, पास होण्यासाठी $३५\%$ गुण हवे आहेत.

म्हणून, $३५\% = १०५$ .

एकूण गुण ( $१००\%$ ) $= \frac{105 \times 100}{35}$

$= 3 \times 100 = 300$

उत्तर: ती परीक्षा एकूण ३०० गुणांची होती.

प्रकार ४: लोकसंख्येचे गणित (चक्रवाढ व्याजाच्या धर्तीवर)

प्रश्न: एका शहराची आजची लोकसंख्या १०,००० आहे. जर दरवर्षी लोकसंख्या $१०\%$ ने वाढत असेल, तर २ वर्षांनंतर शहराची लोकसंख्या किती होईल?

स्पष्टीकरण:

पहिल्या वर्षीची वाढ: १०,००० चे $१०\% = १०००$ .

पहिल्या वर्षानंतर लोकसंख्या: $१०,००० + १००० = ११,०००$ .

दुसऱ्या वर्षीची वाढ: ११,००० चे $१०\% = ११००$ .

दोन वर्षांनंतरची एकूण लोकसंख्या: $११,००० + ११०० = १२,१००$ .

शॉर्ट ट्रिक: $10000 \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} = 12100$

७. महत्वाच्या टिप्स (Study Tips for Aspirants)

१. १ ते २० पर्यंतचे पाढे पाठांतर करा: शेकडेवारीच्या गणितात वेगाने भागाकार करण्यासाठी हे आवश्यक आहे.

२. अपूर्णांक ते टक्केवारी तक्ता: दररोज ५ मिनिटे हा तक्ता डोळ्याखालून घाला. $\frac{1}{8}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}$ यांसारख्या किमती विचारल्या जातात.

३. प्रश्नाचा अर्थ नीट समजून घ्या: 'पेक्षा जास्त' किंवा 'पेक्षा कमी' या शब्दांकडे लक्ष द्या. उदाहरणार्थ, जर $A, B$ पेक्षा $२०\%$ ने मोठा असेल, तर $B, A$ पेक्षा किती टक्के लहान आहे? हे काढताना छेद बदलतो.

४. पर्यायांचा वापर करा: कधीकधी गणित सोडवण्यापेक्षा पर्यायांवरून उलट दिशेने जाणे अधिक सोपे पडते.