घन-घनमूळ

१. घन-घनमूळ संकल्पना

घन:

कोणत्याही संख्येला त्याच संख्येने सलग तीन वेळा गुणले असता येणाऱ्या गुणाकाराला त्या संख्येचा 'घन' असे म्हणतात. घन दर्शवण्यासाठी संख्येच्या डोक्यावर ३ हा घातांक लिहिला जातो.

सूत्र:

a \times a \times a = a^3

उदाहरणे:

५ चा घन : $5 \times 5 \times 5 = 125$ (म्हणून $5^3 = 125$ )
८ चा घन : $8 \times 8 \times 8 = 512$ (म्हणून $8^3 = 512$ )

घनमूळ:

दिलेली संख्या ही ज्या संख्येचा घन असते, त्या मूळ संख्येला दिलेल्या संख्येचे 'घनमूळ' असे म्हणतात. घनमूळ दर्शवण्यासाठी करणी चिन्हात ३ ( $\sqrt[3]{}$ ) हे चिन्ह वापरले जाते.

सूत्र:

जर $a^3 = b$ असेल, तर $\sqrt[3]{b} = a$

उदाहरणे:

१२५ ही संख्या ५ चा घन आहे, म्हणून १२५ चे घनमूळ ५ आहे. ( $\sqrt[3]{125} = 5$ )
२१६ ही संख्या ६ चा घन आहे, म्हणून २१६ चे घनमूळ ६ आहे. ( $\sqrt[3]{216} = 6$ )

२. तक्ता : १ ते २० पर्यंतच्या संख्यांचे घन

स्पर्धा परीक्षांमधील वेळ वाचवण्यासाठी १ ते २० पर्यंतचे घन पाठ असणे अत्यंत गरजेचे आहे.

संख्या (x)	घन (x3)	संख्या (x)	घन (x3)
१	$1$	११	$1331$
२	$8$	१२	$1728$
३	$27$	१३	$2197$
४	$64$	१४	$2744$
५	$125$	१५	$3375$
६	$216$	१६	$4096$
७	$343$	१७	$4913$
८	$512$	१८	$5832$
९	$729$	१९	$6859$
१०	$1000$	२०	$8000$

३. घन काढणे : विविध पद्धती व ट्रिक्स

कोणत्याही संख्येचा घन काढण्यासाठी आपण पारंपारिक गुणाकार पद्धत वापरू शकतो, परंतु ती वेळखाऊ असते. म्हणून आपण काही खास शॉर्ट ट्रिक्स पाहूया.

दोन अंकी संख्यांचे घन काढण्यासाठी आपण संख्यांचे ४ प्रकारांत वर्गीकरण करतो:

१. १ ने सुरु होणाऱ्या संख्या

२. १ ने शेवट होणाऱ्या संख्या

३. दोन्ही अंक समान असलेल्या संख्या

४. दोन्ही अंक वेगवेगळे असलेल्या संख्या

शॉर्ट ट्रिक्स प्रकार १ : १ ने सुरु होणाऱ्या संख्यांचा घन (उदा. १२)

पायरी १: दिलेली संख्या जशीच्या तशी लिहा.

पायरी २: दुसऱ्या अंकाचा वर्ग आणि घन त्याच्या पुढे लिहा.

पायरी ३: पहिल्या आणि शेवटच्या अंकाला सोडून द्या. मधल्या दोन्ही अंकांची दुप्पट करून त्यांच्या खाली लिहा.

पायरी ४: सर्वांची उभी बेरीज करा.

उदाहरण: १२ चा घन काढा.

\begin{array}{r r r r} 1 & 2 & 4 & 8 \\ + & 4 & 8 & \\ \hline 1 & 7 & 2 & 8 \end{array}

उत्तर: $12^3 = 1728$

शॉर्ट ट्रिक्स प्रकार २ : १ ने शेवट होणाऱ्या संख्यांचा घन (उदा. २१)

ही पद्धत प्रकार १ च्या अगदी उलट आहे. आपण उजवीकडून डावीकडे लिहायला सुरुवात करतो.

पायरी १: उजवीकडून डावीकडे संख्या लिहा.

पायरी २: २ चा वर्ग आणि घन डावीकडे लिहा.

पायरी ३: मधल्या अंकांची दुप्पट करून खाली लिहा आणि बेरीज करा.

उदाहरण: २१ चा घन काढा.

\begin{array}{r r r r} 8 & 4 & 2 & 1 \\ + & 8 & 4 & \\ \hline 9 & 2 & 6 & 1 \end{array}

उत्तर: $21^3 = 9261$

शॉर्ट ट्रिक्स प्रकार ३ : समान अंक असलेल्या संख्यांचा घन (उदा. २२)

पायरी १: दिलेल्या अंकाचा घन चार वेळा लिहा.

पायरी २: नेहमीप्रमाणे मधल्या दोन अंकांची दुप्पट करून बेरीज करा.

उदाहरण: २२ चा घन काढा.

\begin{array}{r r r r} 8 & 8 & 8 & 8 \\ + & 16 & 16 & \\ \hline 10 & 6 & 4 & 8 \end{array}

उत्तर: $22^3 = 10648$

शॉर्ट ट्रिक्स प्रकार ४ : दोन्ही वेगळे अंक असलेल्या संख्या (उदा. २३)

पायरी १: पहिल्या अंकाचा घन पहिल्या स्थानी आणि दुसऱ्या अंकाचा घन चौथ्या स्थानी लिहा.

पायरी २: दुसऱ्या स्थानासाठी: पहिल्या अंकाचा वर्ग $\times$ दुसरा अंक.

पायरी ३: तिसऱ्या स्थानासाठी: दुसऱ्या अंकाचा वर्ग $\times$ पहिला अंक.

पायरी ४: मधल्या अंकांची दुप्पट करून बेरीज करा.

उदाहरण: २३ चा घन काढा.

पहिल्या स्थानावर $2^3 = 8$ .

दुसऱ्या स्थानावर $2^2 \times 3 = 12$ .

तिसऱ्या स्थानावर $3^2 \times 2 = 18$ .

चौथ्या स्थानावर $3^3 = 27$ .

\begin{array}{r r r r} 8 & 12 & 18 & 27 \\ + & 24 & 36 & \\ \hline 12 & 1 & 6 & 7 \end{array}

उत्तर: $23^3 = 12167$

४. घनमूळ काढणे : अवयव पद्धती शॉर्ट ट्रिक्स

घनमूळ काढण्याच्या मुख्य दोन पद्धती आहेत: मूळ अवयव पद्धत आणि शॉर्ट ट्रिक पद्धत.

पद्धत १ : मूळ अवयव पद्धत

या पद्धतीत दिलेल्या संख्येचे मूळ अवयव पाडले जातात आणि समान अवयवांचे तीन-तीन चे गट केले जातात. प्रत्येक गटातून एक अवयव घेऊन त्यांचा गुणाकार केल्यास घनमूळ मिळते.

उदाहरण: २१६ चे घनमूळ काढा. $\sqrt[3]{216} = ?$

\begin{array}{c|c} 2 & 216 \\ \hline 2 & 108 \\ \hline 2 & 54 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array}

$216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

समान संख्यांचे ३ चे गट करा:

गट १: $(2 \times 2 \times 2)$

गट २: $(3 \times 3 \times 3)$

प्रत्येक गटातून एक अंक घ्या: $2 \times 3 = 6$

म्हणून, $\sqrt[3]{216} = 6$

पद्धत २ : शॉर्ट ट्रिक्स (एकक स्थानाचा नियम)

स्पर्धा परीक्षांसाठी ही पद्धत सर्वात उपयुक्त आहे. यासाठी तुम्हाला १ ते १० पर्यंतचे घन पाठ असणे आवश्यक आहे.

नियम १: एकक स्थानचे अंक ओळखणे

कोणत्याही संख्येच्या घनाच्या एकक स्थानी कोणता अंक येतो, हे मूळ संख्येच्या एकक स्थानावरून ठरते:

१ असेल तर घनाच्या शेवटी १ येतो.
४ असेल तर ४ येतो.
५ असेल तर ५ येतो.
६ असेल तर ६ येतो.
९ असेल तर ९ येतो.
० असेल तर ० येतो.

विशेष बदलणारे अंक:

२ असेल तर ८ येतो आणि ८ असेल तर २ येतो.
३ असेल तर ७ येतो आणि ७ असेल तर ३ येतो.

उदाहरण १: $\sqrt[3]{39304} = ?$

पायरी १: उजवीकडून ३ अंकी संख्येचा एक गट करा. (304) आणि उरलेली संख्या वेगळी करा (39). गट: 39 | 304

पायरी २: 304 च्या एकक स्थानी 4 आहे. नियमानुसार 4 चा घन 4 नेच संपतो. म्हणून घनमूळाचा एकक स्थानचा अंक = 4.

पायरी ३: आता उरलेली संख्या 39 घ्या. 39 च्या अलीकडची पूर्ण घन संख्या शोधा.

$3^3 = 27$ आणि $4^3 = 64$ .

39 ही संख्या 27 च्या जवळची मोठी संख्या आहे. म्हणून 27 चे घनमूळ 3 घ्या.

उत्तर: घनमूळ = 34.

५. दशांश संख्यांचे घन-घनमूळ

दशांश संख्यांचे घन व घनमूळ काढताना दशांश चिन्हांची योग्य मोजणी करणे सर्वात महत्त्वाचे असते.

दशांश संख्येचा घन काढणे:

नियम: दशांश स्थळांची संख्या ३ पटीने वाढते.
उदाहरण: $0.2$ चा घन काढा.
२ चा घन ८ आहे. $0.2$ मध्ये १ दशांश स्थळ आहे. घनामध्ये $1 \times 3 = 3$ दशांश स्थळे असतील.
$0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008$
म्हणून, $0.2^3 = 0.008$

दशांश संख्येचे घनमूळ काढणे:

नियम: दशांश स्थळांची संख्या ३ ने भागून कमी होते.
उदाहरण: $\sqrt[3]{0.000027} = ?$
प्रथम दशांश चिन्ह विसरून संख्येचे घनमूळ काढा. २७ चे घनमूळ ३ आहे.
मूळ संख्येत ६ दशांश स्थळे आहेत. घनमूळात $\frac{6}{3} = 2$ दशांश स्थळे असतील.
म्हणून, $\sqrt[3]{0.000027} = 0.03$

६. घनमूळ संख्या घातांकच्या स्वरूपात लिहिणे

घनमूळ हे अपूर्णांक घातांकाच्या स्वरूपातही लिहिता येते. करणी चिन्हातील घनमूळ हे कंसाचा घातांक $\frac{1}{3}$ म्हणून दर्शवले जाते.

उदाहरणे:

$\sqrt[3]{64}$ हे आपण $64^{\frac{1}{3}}$ असे लिहू शकतो.
घातांकाचे नियम वापरून हे सोडवता येते:

64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4^{3 \times \frac{1}{3}} = 4^1 = 4

७. इतर महत्त्वाचे नियम व टिप्स (Properties)

परीक्षेत थेट विचारले जाणारे काही महत्त्वाचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत:

सम संख्येचा घन नेहमी सम संख्याच असतो. उदा. $4^3 = 64$ (४ आणि ६४ दोन्ही सम आहेत)
विषम संख्येचा घन नेहमी विषम संख्याच असतो.
उदा. $5^3 = 125$ (५ आणि १२५ दोन्ही विषम आहेत)
ऋण (Negative) संख्येचा घन नेहमी ऋण संख्याच असतो.
उदा. $(-3)^3 = -3 \times -3 \times -3 = -27$
अपूर्णांकाचा घन: अंशाचा घन अंशस्थानी आणि छेदाचा घन छेदस्थानी लिहावा.
सूत्र: $(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$
उदा. $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$
शून्यांचा नियम: जर एखाद्या संख्येच्या शेवटी 'n' शून्ये असतील, तर तिच्या घनाच्या शेवटी '3n' शून्ये येतात.
उदा. $10^3 = 1000$ (१ शून्य $\rightarrow$ ३ शून्ये)
$200^3 = 8000000$ (२ शून्ये $\rightarrow$ ६ शून्ये)

८. स्पष्टीकरणासह सोडवलेली उदाहरणे (Maha TET / Scholarship Level)

प्रश्न १: $\sqrt[3]{-512}$ ची किंमत किती?

उकल:

आपल्याला माहित आहे की $8^3 = 512$ .

नियम: ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण असते.

म्हणून, $\sqrt[3]{-512} = -8$

प्रश्न २: जर $\sqrt[3]{x} = 12$ तर $x$ ची किंमत किती?

उकल:

$\sqrt[3]{x} = 12$

दोन्ही बाजूंचा घन करू:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 12^3$

$x = 1728$

प्रश्न ३: $\sqrt[3]{1331} \times \sqrt[3]{0.027} = ?$

उकल:

$\sqrt[3]{1331} = 11$

$\sqrt[3]{0.027} = 0.3$ (२७ चे घनमूळ ३, आणि ३ दशांश स्थळांचे १ दशांश स्थळ झाले)

दोन्हीचा गुणाकार: $11 \times 0.3 = 3.3$

उत्तर: $3.3$

प्रश्न ४: खालीलपैकी कोणती संख्या पूर्ण घन संख्या नाही?

अ) ३४३ ब) २१६ क) १००० ड) ४४१

उकल:

$7^3 = 343$

$6^3 = 216$

$10^3 = 1000$

४४१ हा २१ चा वर्ग आहे ( $21^2 = 441$ ), तो कोणाचाही घन नाही.

उत्तर: ड) ४४१

प्रश्न ५: एका घनाकृती (Cube) ठोकळ्याचे घनफळ २७४४ घन सेमी आहे, तर त्या ठोकळ्याच्या एका बाजूची लांबी किती?

उकल:

घनाचे घनफळ = $(\text{बाजू})^3$

$2744 = (\text{बाजू})^3$

बाजू = $\sqrt[3]{2744}$

शॉर्ट ट्रिक वापरून: २७४४ च्या शेवटी ४ आहे, म्हणून एकक अंक ४. २ च्या आधीची घन संख्या १ ( $1^3=1$ ). म्हणून दशक अंक १.

बाजू = १४ सेमी.

प्रश्न ६: $\frac{\sqrt[3]{729} \div \sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = ?$

उकल:

$\sqrt[3]{729} = 9$

$\sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{8} = 2$

किमती सूत्रात ठेवल्यास:

\frac{9 \div 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5

उत्तर: $1.5$

प्रश्न ७: २८८ ला कोणत्या लहानात लहान संख्येने गुणले असता येणारा गुणाकार पूर्ण घन संख्या असेल?

उकल:

प्रथम २८८ चे मूळ अवयव पाडू:

$288 = 2 \times 144$

$= 2 \times 2 \times 72$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 36$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 18$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

गट बनवू: $(2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

येथे २ च्या गटासाठी एक '२' कमी आहे आणि ३ च्या गटासाठी एक '३' कमी आहे.

म्हणून आवश्यक संख्या = $2 \times 3 = 6$

उत्तर: २८८ ला ६ ने गुणल्यास ती पूर्ण घन संख्या होईल.

प्रश्न ८: $\sqrt[3]{2^x} = 16$ तर $x$ ची किंमत काढा.

उकल:

$\sqrt[3]{2^x} = 16$

$(2^x)^{\frac{1}{3}} = 16$

$2^{\frac{x}{3}} = 2^4$ (कारण $16 = 2^4$ )

पाया समान आहे, म्हणून घातांकांची तुलना करू:

$\frac{x}{3} = 4$

$x = 4 \times 3$

$x = 12$

उत्तर: $12$