वर्ग आणि वर्गमूळ संकल्पना
वर्ग :
एखाद्या संख्येला त्याच संख्येने गुणले असता येणाऱ्या गुणाकाराला त्या संख्येचा 'वर्ग' असे म्हणतात.
जर $a$ ही एक संख्या असेल, तर $a$ चा वर्ग $a^2$ असा लिहिला जातो.
सूत्र : $a^2 = a \times a$
उदाहरणार्थ:
५ चा वर्ग : $5^2 = 5 \times 5 = 25$
१२ चा वर्ग : $12^2 = 12 \times 12 = 144$
वर्गमूळ :
वर्गमूळ ही वर्गाच्या अगदी उलट प्रक्रिया आहे. दिलेली संख्या कोणत्या संख्येचा वर्ग आहे, ती मूळ संख्या शोधणे म्हणजे 'वर्गमूळ' काढणे होय. वर्गमूळ दर्शवण्यासाठी $\sqrt{ }$ हे चिन्ह वापरतात.
जर $x^2 = y$ असेल, तर $\sqrt{y} = x$ असते.
उदाहरणार्थ:
$25$ चे वर्गमूळ : $\sqrt{25} = 5$
$144$ चे वर्गमूळ : $\sqrt{144} = 12$
वर्ग काढणे : विविध पद्धती व शॉर्ट ट्रिक्स
परीक्षेत मोठा गुणाकार करत बसण्यापेक्षा खालील शॉर्ट ट्रिक्स वापरल्यास काही सेकंदात उत्तर मिळते.
१. एकक स्थानी ५ असलेल्या संख्यांचे वर्ग काढणे
ज्या संख्येच्या एकक स्थानी $5$ असतो, त्या संख्येचा वर्ग काढण्याची पद्धत अतिशय सोपी आहे.
नियम: 1. उत्तराच्या शेवटी नेहमी $25$ लिहा.
2. दशक स्थानच्या अंकाला त्याच्या पुढील क्रमिक संख्येने गुणा आणि तो गुणाकार $25$ च्या आधी लिहा.
उदाहरणे:
$35$ चा वर्ग काढणे ($35^2$):
शेवटचे अंक : $25$
उरलेला अंक $3$ आहे. $3$ च्या पुढील संख्या $4$ आहे.
गुणाकार : $3 \times 4 = 12$
एकूण उत्तर : $1225$
$85$ चा वर्ग काढणे ($85^2$):
शेवटचे अंक : $25$
$8$ च्या पुढील संख्या $9$.
गुणाकार : $8 \times 9 = 72$
एकूण उत्तर : $7225$
$115$ चा वर्ग काढणे ($115^2$):
शेवटचे अंक : $25$
$11$ च्या पुढील संख्या $12$.
गुणाकार : $11 \times 12 = 132$
एकूण उत्तर : $13225$
२. $(a+b)^2$ किंवा $(a-b)^2$ सूत्राचा वापर करून वर्ग काढणे
बीजगणितातील विस्तार सूत्रांचा वापर करून कोणत्याही संख्येचा वर्ग सहज काढता येतो.
सूत्रे:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
उदाहरणे:
$52$ चा वर्ग काढणे ($52^2$):
$52$ ला $(50 + 2)$ असे लिहा.
येथे $a = 50$ आणि $b = 2$
$$(50+2)^2 = 50^2 + 2 \times 50 \times 2 + 2^2$$$$= 2500 + 200 + 4 = 2704$$$98$ चा वर्ग काढणे ($98^2$):
$98$ ला $(100 - 2)$ असे लिहा.
येथे $a = 100$ आणि $b = 2$
$$(100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2$$$$= 10000 - 400 + 4 = 9604$$
३. कोणत्याही दोन अंकी संख्येचा वर्ग काढण्याची युनिव्हर्सल ट्रिक
ही पद्धत $(a+b)^2$ वरच आधारित आहे, पण ती आपण वेगळ्या मांडणीने करतो. $ab$ ही दोन अंकी संख्या मानल्यास:
पायरी १: $b^2$ काढा (एकक स्थानचा वर्ग). हातचा आल्यास बाजूला ठेवा.
पायरी २: $2 \times a \times b$ करा आणि त्यात आधीचा हातचा मिळवा.
पायरी ३: $a^2$ काढा (दशक स्थानचा वर्ग) आणि त्यात दुसरा हातचा मिळवा.
उदाहरण: $47$ चा वर्ग ($47^2$)
येथे $a = 4$ आणि $b = 7$
पायरी १: $7^2 = 49$. (एकक स्थानी $9$ लिहा, हातचा आला $4$)
पायरी २: $2 \times 4 \times 7 = 56$. अधिक हातचा $4 = 60$. ($0$ लिहा, हातचा आला $6$)
पायरी ३: $4^2 = 16$. अधिक हातचा $6 = 22$. ($22$ लिहा)
एकूण उत्तर: $2209$
४. मागील संख्येच्या वर्गावरून पुढील संख्येचा वर्ग काढणे
जर तुम्हाला एखाद्या संख्येचा वर्ग माहित असेल आणि त्याच्या लगेच पुढच्या संख्येचा वर्ग काढायचा असेल, तर हे सूत्र वापरा:
$(n+1)^2 = n^2 + n + (n+1)$
उदाहरण:
समजा तुम्हाला $20$ चा वर्ग $400$ माहित आहे, आणि $21$ चा वर्ग काढायचा आहे.
येथे $n = 20$ आणि $n+1 = 21$.
$21^2 = 20^2 + 20 + 21$
$21^2 = 400 + 41 = 441$
५. ५० च्या जवळील संख्यांचे वर्ग काढण्याची शॉर्ट ट्रिक (Base 50 Method)
$50$ ला आधार मानून ही ट्रिक वापरली जाते. यासाठी $25$ हा 'मॅजिक नंबर' लक्षात ठेवा.
५० पेक्षा मोठ्या संख्येसाठी: $(50 + x)^2$
उत्तर = $(25 + x)$ आणि शेवटी $x^2$ (दोन अंकात)
उदाहरण: $54$ चा वर्ग ($54^2$)
$54$ हे $50$ पेक्षा $4$ ने जास्त आहे ($x=4$).
पहिली भाग: $25 + 4 = 29$
दुसरा भाग: $4^2 = 16$
उत्तर: $2916$
५० पेक्षा लहान संख्येसाठी: $(50 - x)^2$
उत्तर = $(25 - x)$ आणि शेवटी $x^2$ (दोन अंकात)
उदाहरण: $46$ चा वर्ग ($46^2$)
$46$ हे $50$ पेक्षा $4$ ने कमी आहे ($x=4$).
पहिली भाग: $25 - 4 = 21$
दुसरा भाग: $4^2 = 16$
उत्तर: $2116$
६. १०० च्या जवळील संख्यांचे वर्ग काढण्याची शॉर्ट ट्रिक (Base 100 Method)
१०० पेक्षा मोठ्या संख्येसाठी:
उदाहरण: $106$ चा वर्ग ($106^2$)
संख्या $100$ पेक्षा $6$ ने जास्त आहे.
त्या संख्येत $6$ मिळवा: $106 + 6 = 112$
पुढे $6$ चा वर्ग लिहा: $36$
उत्तर: $11236$
१०० पेक्षा लहान संख्येसाठी:
उदाहरण: $93$ चा वर्ग ($93^2$)
संख्या $100$ पेक्षा $7$ ने कमी आहे.
त्या संख्येतून $7$ वजा करा: $93 - 7 = 86$
पुढे $7$ चा वर्ग लिहा: $49$
उत्तर: $8649$
तक्ता : १ ते ५० पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग
स्पर्धा परीक्षेसाठी १ ते ३० पर्यंतचे वर्ग तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे. १ ते ५० पर्यंतचा तक्ता खालीलप्रमाणे:
| संख्या (n) | वर्ग (n2) | संख्या (n) | वर्ग (n2) | संख्या (n) | वर्ग (n2) | संख्या (n) | वर्ग (n2) | संख्या (n) | वर्ग (n2) |
| $1$ | $1$ | $11$ | $121$ | $21$ | $441$ | $31$ | $961$ | $41$ | $1681$ |
| $2$ | $4$ | $12$ | $144$ | $22$ | $484$ | $32$ | $1024$ | $42$ | $1764$ |
| $3$ | $9$ | $13$ | $169$ | $23$ | $529$ | $33$ | $1089$ | $43$ | $1849$ |
| $4$ | $16$ | $14$ | $196$ | $24$ | $576$ | $34$ | $1156$ | $44$ | $1936$ |
| $5$ | $25$ | $15$ | $225$ | $25$ | $625$ | $35$ | $1225$ | $45$ | $2025$ |
| $6$ | $36$ | $16$ | $256$ | $26$ | $676$ | $36$ | $1296$ | $46$ | $2116$ |
| $7$ | $49$ | $17$ | $289$ | $27$ | $729$ | $37$ | $1369$ | $47$ | $2209$ |
| $8$ | $64$ | $18$ | $324$ | $28$ | $784$ | $38$ | $1444$ | $48$ | $2304$ |
| $9$ | $81$ | $19$ | $361$ | $29$ | $841$ | $39$ | $1521$ | $49$ | $2401$ |
| $10$ | $100$ | $20$ | $400$ | $30$ | $900$ | $40$ | $1600$ | $50$ | $2500$ |
वर्गमूळ काढणे : विविध पद्धती व शॉर्ट ट्रिक्स
वर्गमूळ काढण्याच्या प्रामुख्याने दोन पारंपरिक पद्धती आहेत: अवयव पद्धती आणि भागाकार पद्धती. तसेच स्पर्धा परीक्षेसाठी आपण शॉर्ट ट्रिक देखील पाहणार आहोत.
१. मूळ अवयव पद्धती
या पद्धतीत दिलेल्या संख्येचे मूळ अवयव पाडले जातात. त्यानंतर समान अवयवांच्या जोड्या बनवून प्रत्येक जोडीतून एक अवयव बाहेर घेतला जातो आणि त्यांचा गुणाकार केला जातो.
उदाहरण: $\sqrt{324}$ काढा.
मूळ अवयव : $324 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
जोड्या बनवणे : $(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3)$
प्रत्येक जोडीतून एक अंक घेणे : $2 \times 3 \times 3 = 18$
म्हणून, $\sqrt{324} = 18$
२. भागाकार पद्धती
जेव्हा संख्या खूप मोठी असते आणि अवयव पाडणे कठीण असते, तेव्हा ही पद्धत वापरली जाते. या पद्धतीत उजवीकडून डावीकडे दोन-दोन अंकांच्या जोड्या (गट) तयार केल्या जातात.
उदाहरण: $\sqrt{1024}$ काढा.
गट तयार करा: $\overline{10}\overline{24}$
स्पष्टीकरण:
१. पहिला गट $10$ आहे. $3^2 = 9$ जो $10$ पेक्षा लहान आहे. म्हणून भाजक $3$ आणि भागाकार $3$ घेतला.
२. बाकी $1$ उरली. पुढचा गट $24$ खाली घेतला. नवीन भाज्य $124$ झाला.
३. भाजकाची दुप्पट करा ($3 \times 2 = 6$). आता $6$ च्या पुढे असा अंक ठेवायचा ज्याने तयार होणाऱ्या संख्येला त्याच अंकाने गुणल्यास $124$ येईल.
४. $62 \times 2 = 124$. म्हणून नवीन अंक $2$ घेतला. बाकी $0$ उरली.
उत्तर: $\sqrt{1024} = 32$
३. पूर्ण वर्ग संख्येचे वर्गमूळ काढण्याची शॉर्ट ट्रिक (Unit Digit Method)
परीक्षेत कमी वेळेत वर्गमूळ काढण्यासाठी एकक स्थानच्या अंकाचा उपयोग होतो.
जर प्रश्नातील संख्येच्या एकक स्थानी $1$ असेल, तर उत्तराच्या एकक स्थानी $1$ किंवा $9$ असतो.
जर एकक स्थानी $4$ असेल, तर उत्तरात $2$ किंवा $8$ असतो.
जर एकक स्थानी $5$ असेल, तर उत्तरात नेहमी $5$ असतो.
जर एकक स्थानी $6$ असेल, तर उत्तरात $4$ किंवा $6$ असतो.
जर एकक स्थानी $9$ असेल, तर उत्तरात $3$ किंवा $7$ असतो.
(टीप: जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी २, ३, ७ किंवा ८ असेल, तर ती संख्या कधीही पूर्ण वर्ग असू शकत नाही.)
उदाहरण: $\sqrt{3136}$ काढा.
शेवटचे दोन अंक सोडा ($36$). उरलेली संख्या $31$ आहे.
$31$ च्या अलीकडील पूर्ण वर्ग संख्या $25$ आहे, जिचे वर्गमूळ $5$ आहे. म्हणजे उत्तराचा पहिला अंक $5$ असेल.
प्रश्नातील संख्येच्या एकक स्थानी $6$ आहे. म्हणजे उत्तराचा दुसरा अंक $4$ किंवा $6$ असू शकतो. (म्हणजे उत्तर $54$ किंवा $56$ असेल).
हे ठरवण्यासाठी पहिल्या अंकाला ($5$) त्याच्या पुढच्या संख्येने ($6$) गुणा. $5 \times 6 = 30$.
आपली उरलेली संख्या $31$ ही $30$ पेक्षा 'मोठी' आहे. म्हणून $4$ आणि $6$ मधील 'मोठा' अंक $6$ निवडायचा.
उत्तर: $56$.
दशांश संख्यांचे वर्ग व वर्गमूळ
दशांश अपूर्णांकांचे वर्ग आणि वर्गमूळ काढताना दशांश चिन्हाच्या स्थानाकडे लक्ष देणे सर्वात महत्त्वाचे असते.
दशांश संख्येचा वर्ग करणे:
जेव्हा आपण दशांश संख्येचा वर्ग करतो, तेव्हा मूळ संख्येतील दशांश स्थानांच्या दुप्पट स्थाने उत्तरात येतात.
नियम: जर संख्येत दशांश चिन्हानंतर $n$ अंक असतील, तर तिच्या वर्गात दशांश चिन्हानंतर $2n$ अंक असतील.
उदाहरण: $0.3$ चा वर्ग ($0.3^2$)
$3^2 = 9$. मूळ संख्येत दशांश चिन्हानंतर $1$ अंक आहे, म्हणून उत्तरात $2$ अंक पाहिजेत.
$0.3^2 = 0.09$
उदाहरण: $1.2^2$
$12^2 = 144$. दशांश स्थाने दुप्पट होणार.
$1.2^2 = 1.44$
दशांश संख्येचे वर्गमूळ काढणे:
जेव्हा आपण पूर्ण वर्ग दशांश संख्येचे वर्गमूळ काढतो, तेव्हा दशांश स्थानांची संख्या निम्मी होते.
नियम: जर संख्येत दशांश चिन्हानंतर $2n$ अंक असतील, तर वर्गमुळात दशांश चिन्हानंतर $n$ अंक असतील.
उदाहरण: $\sqrt{0.0064}$
$64$ चे वर्गमूळ $8$. मूळ संख्येत दशांश चिन्हानंतर $4$ अंक आहेत. म्हणून वर्गमुळात २ अंक पाहिजेत.
$\sqrt{0.0064} = 0.08$
वर्गमूळ संख्या घातांकच्या स्वरूपात लिहिणे
गणितीय नियमांनुसार, वर्गमूळ हे घातांकाच्या स्वरूपात अपूर्णांकात लिहिता येते. वर्गमूळ म्हणजे एखाद्या संख्येचा $\frac{1}{2}$ वा घात होय.
सूत्र: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
तसेच, जर घनमूळ असेल तर: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
उदाहरणे:
$\sqrt{49}$ हे $49^{\frac{1}{2}}$ असे लिहिता येते.
$49^{\frac{1}{2}} = (7^2)^{\frac{1}{2}} = 7^{2 \times \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$
घातांकाचे नियम वर्गमुळांना देखील लागू होतात:
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
(टीप: $\sqrt{a+b}$ हे $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ च्या बरोबर नसते.)
इतर महत्त्वाचे नियम, टिप्स व ट्रिक्स
१. विषम आणि सम संख्यांचे वर्ग:
कोणत्याही सम संख्येचा वर्ग नेहमी सम संख्याच असतो. (उदा. $4^2 = 16$)
कोणत्याही विषम संख्येचा वर्ग नेहमी विषम संख्याच असतो. (उदा. $7^2 = 49$)
२. शून्यांचे नियम:
जर एखाद्या संख्येच्या शेवटी $n$ शून्य असतील, तर तिच्या वर्गाच्या शेवटी $2n$ शून्य असतात.
उदा. $40^2 = 1600$, $500^2 = 250000$
जर एखाद्या संख्येच्या शेवटी विषम संख्येत शून्य असतील (उदा. एक शून्य, तीन शून्य), तर ती संख्या पूर्ण वर्ग असू शकत नाही. (उदा. $1000$ ही पूर्ण वर्ग संख्या नाही).
३. क्रमिक विषम संख्यांची बेरीज:
पहिल्या $n$ क्रमिक विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज $n^2$ असते.
उदा. $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. येथे ४ संख्या आहेत, आणि $4^2 = 16$.
४. दोन क्रमिक वर्गांमधील संख्या:
$n^2$ आणि $(n+1)^2$ या दोन क्रमिक पूर्ण वर्ग संख्यांच्या दरम्यान एकूण $2n$ नैसर्गिक संख्या असतात, ज्या पूर्ण वर्ग नसतात.
उदा. $5^2 = 25$ आणि $6^2 = 36$. या दरम्यान $2 \times 5 = 10$ पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्या आहेत.
स्पष्टीकरणासह सोडवलेली उदाहरणे (PYQ आधारित)
उदाहरण १: $\sqrt{56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \dots \infty}}}$ ची किंमत काढा.
स्पष्टीकरण:
जेव्हा असा अनंत श्रेणीचा प्रश्न येतो आणि मध्ये '$+$' चिन्ह असते, तेव्हा दिलेल्या संख्येचे (येथे $56$) असे सलग अवयव पाडा ज्यांच्यात १ चा फरक असेल.
$56 = 7 \times 8$.
जर प्रश्नात '$+$' चिन्ह असेल, तर मोठा अवयव हे उत्तर असते.
जर प्रश्नात '$-$' चिन्ह असेल, तर लहान अवयव हे उत्तर असते.
येथे '$+$' आहे, म्हणून उत्तर $8$ आहे.
उदाहरण २: $\sqrt{0.01 + \sqrt{0.0064}}$ ची किंमत किती?
स्पष्टीकरण:
नेहमी सर्वात आतील वर्गमूळ आधी सोडवा.
$\sqrt{0.0064} = 0.08$ (कारण $64$ चे वर्गमूळ $8$, आणि चार दशांश स्थानांची निम्मी दोन स्थाने).
आता समीकरण असे होईल:
आता, $9$ चे वर्गमूळ $3$, आणि दोन दशांश स्थानांची निम्मी एक स्थान.
उत्तर = $0.3$
उदाहरण ३: $432$ ला कोणत्या लहानात लहान संख्येने गुणावे म्हणजे येणारा गुणाकार पूर्ण वर्ग संख्या असेल?
स्पष्टीकरण:
आधी $432$ चे मूळ अवयव पाडा.
अवयव : $(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times 3$
येथे शेवटच्या $3$ ला जोडीदार नाही. पूर्ण वर्ग होण्यासाठी प्रत्येक अवयवाची जोडी पूर्ण असणे आवश्यक आहे.
म्हणून, जर आपण या संख्येला $3$ ने गुणले, तर जोडी पूर्ण होईल.
उत्तर : $3$
उदाहरण ४: एका बागेत $2025$ झाडे लावायची आहेत. प्रत्येक रांगेत जेवढी झाडे आहेत, तेवढ्याच रांगा करायच्या आहेत. तर प्रत्येक रांगेत किती झाडे असतील?
स्पष्टीकरण:
समजा रांगांची संख्या $x$ आहे. म्हणून प्रत्येक रांगेतील झाडांची संख्या देखील $x$ असेल.
एकूण झाडे = $x \times x = x^2$
दिलेले आहे, $x^2 = 2025$
म्हणून, $x = \sqrt{2025}$
शॉर्ट ट्रिक वापरून: शेवटचे अंक $25$, म्हणजे एकक स्थानी $5$. उरलेली संख्या $20$. $20$ च्या अलीकडील पूर्ण वर्ग संख्या $16$ ($4$ चा वर्ग). म्हणून दशक स्थानी $4$.
$x = 45$
उत्तर : प्रत्येक रांगेत $45$ झाडे असतील.
उदाहरण ५: $\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{128}}$ चे सोपे रूप द्या.
स्पष्टीकरण:
घातांकाच्या नियमानुसार: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
दोन्ही संख्यांना $32$ ने किंवा हळूहळू भाग द्या. $2$ ने भागल्यास: $\frac{144}{64}$
याला अतिसंक्षिप्त रूप दिल्यास: $\frac{3}{2}$ म्हणजेच $1.5$
या सर्व सूत्रांचा आणि शॉर्ट ट्रिक्सचा नियमित सराव केल्यास स्पर्धा परीक्षेत गणिताच्या प्रश्नांवर तुमची पकड नक्कीच मजबूत होईल.
वर्ग आणि वर्गमूळ
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
