१. अपूर्णांक म्हणजे काय? (What is a Fraction?)
एखाद्या पूर्ण वस्तूचे समान भाग करून त्यापैकी काही भाग घेणे, हे ज्या संख्येने दर्शविले जाते त्याला अपूर्णांक म्हणतात.
अपूर्णांक हा नेहमी अंश (Numerator) आणि छेद (Denominator) या स्वरूपात लिहिला जातो.
सूत्र: अपूर्णांक = $\frac{\text{अंश}}{\text{छेद}}$
उदाहरण: $\frac{3}{5}$ या अपूर्णांकात $3$ हा अंश आहे आणि $5$ हा छेद आहे. याचा अर्थ एका वस्तूचे ५ समान भाग करून त्यापैकी ३ भाग घेतले.
२. अपूर्णांकांचे मुख्य प्रकार (Types of Fractions)
अपूर्णांकांचे प्रामुख्याने खालील प्रकार पडतात:
अ) व्यवहारी अपूर्णांक (Vulgar / Common Fractions)
ज्या अपूर्णांकात अंश आणि छेद या पूर्णांक संख्या असतात, त्यांना व्यवहारी अपूर्णांक म्हणतात. याचे दोन उपप्रकार आहेत:
छेदाधिक अपूर्णांक (Proper Fraction): * ज्या अपूर्णांकाचा छेद हा अंशापेक्षा मोठा असतो, त्याला छेदाधिक अपूर्णांक म्हणतात.
याचे मूल्य नेहमी $1$ पेक्षा कमी असते.
उदाहरणे: $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{15}{17}$
अंशाधिक अपूर्णांक (Improper Fraction):
ज्या अपूर्णांकाचा अंश हा छेदापेक्षा मोठा किंवा समान असतो, त्याला अंशाधिक अपूर्णांक म्हणतात.
याचे मूल्य $1$ किंवा $1$ पेक्षा जास्त असते.
उदाहरणे: $\frac{5}{3}$, $\frac{12}{7}$, $\frac{9}{9}$
ब) पूर्णांक युक्त अपूर्णांक (Mixed Fractions)
ज्या संख्येत एक भाग पूर्णांक (Integer) आणि दुसरा भाग अपूर्णांक (Fraction) असतो, त्याला पूर्णांक युक्त अपूर्णांक म्हणतात.
उदाहरण: $4 \frac{2}{3}$ (यामध्ये $4$ हा पूर्णांक आणि $\frac{2}{3}$ हा अपूर्णांक आहे).
रूपांतरण (Conversion):
पूर्णांक युक्त अपूर्णांकाचे अंशाधिक अपूर्णांकात रूपांतर:
$$ \text{अंश} = (\text{पूर्णांक} \times \text{छेद}) + \text{अंश}$$उदाहरण: $4 \frac{2}{3}$ चे रूपांतर:
$$ \frac{(4 \times 3) + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$$अंशाधिक अपूर्णांकाचे पूर्णांक युक्त अपूर्णांकात रूपांतर:
अंशाला छेदाने भागावे. जो भागाकार येईल तो पूर्णांक, जी बाकी उरेल तो अंश आणि छेद तोच राहतो.
उदाहरण: $\frac{17}{5}$ चे रूपांतर:
$$ \begin{array}{r l} 5 ) & 17 \quad ( 3 \\ - & 15 \\ \hline & 02 \end{array}$$येथे भागाकार $3$, बाकी $2$ आणि छेद $5$ आहे. त्यामुळे उत्तर: $3 \frac{2}{5}$
क) दशांश अपूर्णांक (Decimal Fractions)
ज्या अपूर्णांकांचे छेद $10, 100, 1000$ किंवा $10$ च्या पटीत असतात, त्यांना दशांश अपूर्णांक म्हणतात.
उदाहरणे: $\frac{7}{10} = 0.7$, $\frac{45}{100} = 0.45$
ड) आवर्ती दशांश अपूर्णांक (Recurring Decimal Fractions)
भागाकाराच्या क्रियेत दशांश चिन्हानंतर एखादा अंक किंवा अंकांचा गट पुन्हा-पुन्हा (Repeat) येत असेल, तर त्याला आवर्ती दशांश म्हणतात.
उदाहरणे: $\frac{1}{3} = 0.3333...$ हे $0.\bar{3}$ असे लिहितात.
३. अपूर्णांकांवरील मूलभूत क्रिया (Basic Operations)
१. बेरीज आणि वजाबाकी (Addition & Subtraction)
समान छेद असताना: फक्त अंशांची बेरीज किंवा वजाबाकी करावी, छेद तोच ठेवावा.
$$ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}$$भिन्न छेद असताना: प्रथम छेद समान करून घ्यावेत (तिरकस गुणाकार किंवा लसावी काढून).
$$ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{(1 \times 3) + (2 \times 4)}{4 \times 3} = \frac{3 + 8}{12} = \frac{11}{12}$$
२. गुणाकार (Multiplication)
अंशाचा गुणाकार अंशाशी आणि छेदाचा गुणाकार छेदाशी करावा.
$$ \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$$
३. भागाकार (Division)
पहिल्या अपूर्णांकाला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या 'गुणाकार व्यस्ताने' (Reciprocal) गुणावे.
$$ \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$
४. अपूर्णांकांचा लहान-मोठेपणा (Comparison of Fractions)
अपूर्णांकांचा लहान-मोठेपणा ठरवण्यासाठी खालील नियम अत्यंत उपयुक्त आहेत:
समान छेद (Same Denominators): जर छेद समान असतील, तर ज्याचा अंश मोठा तो अपूर्णांक मोठा.
$\frac{7}{11}$ आणि $\frac{4}{11}$ मध्ये $\frac{7}{11} > \frac{4}{11}$
समान अंश (Same Numerators): जर अंश समान असतील, तर ज्याचा छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा.
$\frac{5}{8}$ आणि $\frac{5}{12}$ मध्ये $\frac{5}{8} > \frac{5}{12}$
शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks for Comparison)
ट्रिक १: तिरकस गुणाकार पद्धत (Cross Multiplication Method)
दोन अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी ही सर्वात सोपी पद्धत आहे.
$\frac{3}{5}$ आणि $\frac{4}{7}$ यांची तुलना करूया:
$$ 3 \times 7 = 21 \quad \text{आणि} \quad 5 \times 4 = 20$$$21 > 20$, म्हणून पहिला अपूर्णांक मोठा आहे: $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
ट्रिक २: अंश आणि छेदातील फरक समान असताना (Constant Difference Method)
जर दिलेल्या सर्व छेदाधिक (Proper) अपूर्णांकांमध्ये अंश आणि छेद यातील फरक (Difference) समान असेल, तर ज्याचा अंश सर्वात मोठा तो अपूर्णांक सर्वात मोठा असतो.
उदाहरणे: $\frac{15}{16}, \frac{24}{25}, \frac{34}{35}$
येथे प्रत्येकामध्ये $1$ चा फरक आहे. सर्वात मोठा अंश $34$ आहे.
म्हणून, $\frac{34}{35}$ हा सर्वात मोठा अपूर्णांक आहे.
५. अपूर्णांकांचा लसावी आणि मसावी (LCM and HCF of Fractions)
जेव्हा अपूर्णांकांचा लसावी (LCM) किंवा मसावी (HCF) काढायचा असतो, तेव्हा अंशाचा आणि छेदाचा स्वतंत्र विचार करावा लागतो. अपूर्णांक हे अतिसंक्षिप्त रूपात (Simplest form) असणे गरजेचे आहे.
अपूर्णांकांचा लसावी (LCM) काढण्याचे सूत्र:
$$ \text{लसावी} = \frac{\text{अंशांचा लसावी}}{\text{छेदांचा मसावी}}$$अपूर्णांकांचा मसावी (HCF) काढण्याचे सूत्र:
$$ \text{मसावी} = \frac{\text{अंशांचा मसावी}}{\text{छेदांचा लसावी}}$$
उदाहरण: $\frac{2}{3}$ आणि $\frac{4}{9}$ यांचा लसावी व मसावी काढा.
लसावी काढण्यासाठी: अंश ($2, 4$) चा लसावी काढा आणि छेद ($3, 9$) चा मसावी काढा.
$2, 4$ चा लसावी = $4$
$3, 9$ चा मसावी = $3$
उत्तर: लसावी = $\frac{4}{3}$
मसावी काढण्यासाठी: अंश ($2, 4$) चा मसावी काढा आणि छेद ($3, 9$) चा लसावी काढा.
$2, 4$ चा मसावी = $2$
$3, 9$ चा लसावी = $9$
उत्तर: मसावी = $\frac{2}{9}$
(टीप: लसावी/मसावी काढण्याची उभी मांडणी पद्धत)
$12$ आणि $18$ चा लसावी:
लसावी = $2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36$
६. आवर्ती दशांश अपूर्णांकांचे व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर (Tricks for Recurring Decimals)
स्पर्धा परीक्षेत यावर हमखास प्रश्न असतो. हे सोडवण्याच्या ट्रिक्स खालीलप्रमाणे:
शुद्ध आवर्ती दशांश (Pure Recurring): दशांश चिन्हानंतरच्या सर्व अंकांवर बार (Bar) असल्यास.
जेवढ्या अंकांवर बार आहे, तेवढे $9$ छेदात लिहावेत.
$$ 0.\overline{7} = \frac{7}{9}$$$$ 0.\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$मिश्र आवर्ती दशांश (Mixed Recurring): दशांश चिन्हानंतर काही अंक सोडून पुढच्या अंकांवर बार असल्यास.
अंश: संपूर्ण संख्येतून बार नसलेली संख्या वजा करा.
छेद: जेवढ्या अंकांवर बार आहे तेवढे $9$ लिहा आणि ज्यावर बार नाही तेवढे $0$ लिहा.
$$ 0.2\overline{35} = \frac{235 - 2}{990} = \frac{233}{990}$$
७. पदावली आणि अपूर्णांकांवरील क्रिया (BODMAS Rule in Fractions)
गणितामध्ये जेव्हा एकाच उदाहरणात बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि कंस अशा अनेक क्रिया एकत्र येतात, तेव्हा त्या कोणत्या क्रमाने सोडवाव्यात यासाठी एक जागतिक नियम वापरला जातो. या नियमाला इंग्रजीत BODMAS आणि मराठीत 'कंचेभागुबेव' असे म्हणतात. अपूर्णांकांची उदाहरणे सोडवताना या नियमाचे तंतोतंत पालन करणे अनिवार्य असते, अन्यथा उत्तर चुकू शकते.
BODMAS / कंचेभागुबेव नियमाचे सविस्तर विश्लेषण:
B - Bracket (क - कंस): उदाहरणात जर कंस असतील, तर सर्वात आधी कंसातील क्रिया सोडवावी लागते. कंसाचेही खालीलप्रमाणे प्रकार व सोडवण्याचा क्रम असतो:
१. रेघी कंस (Vinculum / Bar Bracket): हा कंस अंकांच्या डोक्यावर रेषेच्या स्वरूपात असतो. (उदा. $\overline{2+3}$)
२. साधा किंवा गोल कंस (Round Bracket): $( \dots )$
३. महिरपी कंस (Curly Bracket): $\{ \dots \}$
४. चौकोनी किंवा मोठा कंस (Square Bracket): $[ \dots ]$
(कंस सोडवताना नेहमी आतून बाहेर या क्रमाने म्हणजेच प्रथम रेघी, मग गोल, मग महिरपी आणि शेवटी चौकोनी कंस सोडवावा.)
O - Of (चे - चा, ची, चे): कंसाच्या बाहेर जर 'चे', 'चा' किंवा 'ची' असा शब्द असेल (इंग्रजीत Of), तर त्याचा अर्थ गुणाकार असा होतो. हा गुणाकार नेहमीच्या गुणाकारापेक्षा (Multiplication) आधी सोडवला जातो.
उदा. $20$ चे $\frac{1}{4}$ म्हणजेच $20 \times \frac{1}{4} = 5$.
D - Division (भा - भागाकार): कंसातील क्रिया आणि 'चे' सोडवल्यानंतर अपूर्णांकांचा भागाकार करावा. (भागाकार करताना दुसऱ्या अपूर्णांकाचा गुणाकार व्यस्त करून गुणाकार करतात).
M - Multiplication (गु - गुणाकार): भागाकारानंतर गुणाकाराची क्रिया करावी. (अंशाचा अंशाशी आणि छेदाचा छेदाशी गुणाकार).
A - Addition (बे - बेरीज): गुणाकारानंतर अपूर्णांकांची बेरीज करावी (छेद समान करून).
S - Subtraction (व - वजाबाकी): सर्वात शेवटी वजाबाकीची क्रिया केली जाते.
महत्त्वाची नोंद: बेरीज आणि वजाबाकी या क्रिया एकाच पातळीवर असतात, त्यामुळे डावीकडून उजवीकडे जाताना जी क्रिया आधी येईल ती सोडवली तरी चालते. तसेच भागाकार व गुणाकार यांचेही आहे.
सविस्तर सोडवलेली उदाहरणे (Step-by-step Examples):
उदाहरण १: साधी पदावली
$$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$$पायरी १ (भागाकार): नियमानुसार प्रथम भागाकार करू. $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$
$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$आता नवीन पदावली: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
पायरी २ (गुणाकार): आता गुणाकार करू. $\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}$
$$\frac{3 \times 2}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1$$आता नवीन पदावली: $\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4}$
पायरी ३ (बेरीज): $\frac{1}{2} + 1$ करू.
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$$आता नवीन पदावली: $\frac{3}{2} - \frac{1}{4}$
पायरी ४ (वजाबाकी): छेद समान करून घेऊ (लसावी $4$).
$$\frac{3 \times 2}{2 \times 2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$
अंतिम उत्तर: $\frac{5}{4}$ किंवा $1 \frac{1}{4}$
उदाहरण २: 'चे' (Of) आणि कंस (Brackets) असलेली पदावली
$$\left( \frac{4}{5} \div \frac{2}{5} \right) \text{ चे } \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$$पायरी १ (कंस सोडवणे): गोल कंसातील भागाकार आधी करू.
$$\frac{4}{5} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{10} = 2$$आता पदावली: $2 \text{ चे } \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$
पायरी २ ('चे' ची क्रिया): 'चे' म्हणजे गुणाकार.
$$2 \times \frac{1}{2} = 1$$आता पदावली: $1 + \frac{2}{3}$
पायरी ३ (अंतिम बेरीज):
$$\frac{3 \times 1 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$
अंतिम उत्तर: $\frac{5}{3}$
८. लंगडा अपूर्णांक (Continued Fractions / Ladder Fractions)
लंगडा अपूर्णांक म्हणजे असा अपूर्णांक ज्यामध्ये अंशाच्या किंवा छेदाच्या जागी पुन्हा एक नवीन अपूर्णांक आलेला असतो आणि ही साखळी एकाखाली एक अशी पायऱ्यांप्रमाणे (Ladder) वाढत जाते. अशा प्रकारची उदाहरणे बँकिंग, SSC, MPSC आणि TET परीक्षांमध्ये वेळ खाऊ (Time-consuming) म्हणून मुद्दाम दिली जातात.
साधी पद्धत (Basic Method):
ही पद्धत खालून वरच्या दिशेने (Bottom to Top) सोडवली जाते. सर्वात खालच्या पायरीवरील बेरीज किंवा वजाबाकी प्रथम करावी, आलेला अपूर्णांक व्यस्त (Reciprocal) करावा आणि पुन्हा वरच्या संख्येशी क्रिया करावी.
उदाहरण:
$$x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}$$पायरी १ (सर्वात खालचा छेद): $1 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
पायरी २ (व्यस्त करणे): आता वरील $1$ च्या छेदात $\frac{4}{3}$ आले. म्हणजेच $\frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$
पायरी ३ (दुसरी पायरी): आता पदावली उरली: $1 + \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}$
खालची बेरीज: $1 + \frac{3}{4} = \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
पायरी ४ (व्यस्त करणे): $\frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}$
पायरी ५ (शेवटची बेरीज): $1 + \frac{4}{7} = \frac{7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$
अंतिम उत्तर: $\frac{11}{7}$
शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks for Continued Fractions)
परीक्षेत एवढा वेळ नसतो, त्यामुळे खालील शॉर्ट ट्रिक वापरल्यास हे उदाहरण फक्त १० सेकंदात सुटते.
ट्रिक १: जेव्हा सर्व ठिकाणी $+1$ असते.
वरील उदाहरणाकडे पहा. डावीकडे $1+$ किती वेळा आले आहे? (३ वेळा). सर्वात शेवटी कोणता अपूर्णांक आहे? ($\frac{1}{3}$).
शेवटच्या अपूर्णांकाचा अंश आणि छेद एका ओळीत लिहा: $1, 3$
उदाहरणात तीन वेळा $+1$ आहे, म्हणून पुढे तीन मोकळ्या जागा करा: $1, 3, \dots, \dots, \dots$
प्रत्येक पुढची संख्या काढण्यासाठी मागील दोन संख्यांची बेरीज करा.
$1 + 3 = 4$ (पहिली मोकळी जागा: $1, 3, 4$)
$3 + 4 = 7$ (दुसरी मोकळी जागा: $1, 3, 4, 7$)
$4 + 7 = 11$ (तिसरी मोकळी जागा: $1, 3, 4, 7, 11$)
सर्वट शेवटी मिळालेल्या दोन संख्या पहा: $7$ आणि $11$.
यातील शेवटची संख्या अंश आणि त्याच्या आधीची संख्या छेद म्हणून लिहा.
उत्तर: $\frac{11}{7}$ (पहा, साध्या पद्धतीचे आणि ट्रिकचे उत्तर एकच आले!)
ट्रिक २: जेव्हा सर्व ठिकाणी $-1$ असते.
$$1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{4}}}$$येथे तीन वेळा $-1$ आहे आणि शेवटचा अपूर्णांक $\frac{1}{4}$ आहे.
ओळीत लिहा: $1, 4, \dots, \dots, \dots$
वजाबाकी असल्यामुळे, पुढील संख्येतून मागील संख्या वजा करा.
$4 - 1 = 3$ (मालिका: $1, 4, 3$)
$3 - 4 = -1$ (मालिका: $1, 4, 3, -1$)
$-1 - 3 = -4$ (मालिका: $1, 4, 3, -1, -4$)
शेवटचे दोन अंक: $-1$ आणि $-4$.
उत्तर: $\frac{-4}{-1} = \frac{4}{1} = 4$
(अशा प्रकारच्या ट्रिक्सचा सतत सराव केल्यास लंगडा अपूर्णांक पेन न उचलताही सोडवता येतो.)
९. स्पर्धा परीक्षेत विचारले जाणारे प्रश्न प्रकार, टिप्स व ट्रिक्स (Exam Oriented Types & Tricks)
Maha TET, 8th Scholarship आणि MPSC च्या परीक्षांमध्ये अपूर्णांकांवर थेट गणिते न विचारता शाब्दिक उदाहरणे किंवा गुंतागुंतीचे रूप देऊन प्रश्न विचारले जातात. खाली काही अत्यंत महत्त्वाचे प्रश्न प्रकार आणि ते सोडवण्याच्या ट्रिक्स दिल्या आहेत.
प्रकार १: शाब्दिक उदाहरणे (Word Problems on Fractions)
या प्रकारात एखाद्या वस्तूचा किंवा रकमेचा काही भाग खर्च झाला आणि काही भाग उरला, अशा स्वरूपाचे प्रश्न असतात.
प्रश्न: एका व्यक्तीने आपल्या पगाराचा $\frac{1}{3}$ भाग घरावर, $\frac{1}{4}$ भाग शिक्षणावर आणि उरलेल्या रकमेपैकी $\frac{1}{5}$ भाग प्रवासावर खर्च केला. तरीही त्याच्याकडे $5000$ रुपये शिल्लक राहिले, तर त्याचा एकूण पगार किती?
पारंपारिक पद्धत:
समजा एकूण पगार $x$ आहे.
खर्च = $\frac{x}{3} + \frac{x}{4}$ (येथे 'उरलेल्या रकमेचा' असा शब्दप्रयोग असेल तर पद्धत खूप मोठी होते.)
शॉर्ट ट्रिक (Fraction Remaining Method):
नेहमी उरलेल्या भागाचा (Remaining Fraction) विचार करा.
जर $\frac{1}{3}$ भाग खर्च झाला, तर उरला किती? $\rightarrow 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
जर $\frac{1}{4}$ भाग खर्च झाला, तर उरला किती? $\rightarrow 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
जर $\frac{1}{5}$ भाग खर्च झाला, तर उरला किती? $\rightarrow 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
आता सर्व उरलेल्या भागांचा गुणाकार करा आणि त्याला $x$ (एकूण पगार) ने गुणा. हे समीकरण शिल्लक रकमेएवढे असेल.
$$x \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = 5000$$संक्षिप्त रूप द्या (अंशातील $3$ व छेदातील $3$ कॅन्सल होतील, $4$ व $4$ कॅन्सल होतील):
$$x \times \frac{2}{5} = 5000$$$$x = \frac{5000 \times 5}{2} = 2500 \times 5 = 12500$$उत्तर: त्या व्यक्तीचा एकूण पगार $12500$ रुपये आहे.
प्रकार २: खांबाची किंवा विहिरीची उदाहरणे
प्रश्न: एका बांबूचा $\frac{1}{4}$ भाग चिखलात, $\frac{1}{3}$ भाग पाण्यात आणि उरलेला $10$ मीटर भाग पाण्याबाहेर आहे. तर बांबूची एकूण लांबी किती?
स्पष्टीकरण (Trick):
प्रथम चिखलात आणि पाण्यात असलेल्या भागांची बेरीज करा.
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$$याचा अर्थ बांबूचे एकूण $12$ समान भाग केले, तर त्यातील $7$ भाग चिखलात व पाण्यात आहेत.
मग उरलेले भाग किती? $12 - 7 = 5$ भाग.
हे $5$ भाग म्हणजे पाण्याबाहेरील $10$ मीटर लांबी होय.
जर $5 \text{ भाग} = 10 \text{ मीटर}$, तर $1 \text{ भाग} = 2 \text{ मीटर}$.
एकूण बांबू $12$ भागांचा आहे, म्हणून एकूण लांबी $= 12 \times 2 = 24 \text{ मीटर}$.
प्रकार ३: अपूर्णांकांमधील मोठा-लहान ओळखणे (Advanced Compare)
जर अंश आणि छेद खूप मोठे असतील आणि फरकही समान नसेल, तर दशांश रूपांतर (Decimal Conversion) करण्यापेक्षा लसावी पद्धत (LCM Method) किंवा अंशाला शून्य लावण्याची ट्रिक वापरावी.
ट्रिक (अंशाला शून्य लावणे):
$\frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{7}{11}$ यातील सर्वात मोठा अपूर्णांक कोणता?
प्रत्येक अंशावर एक किंवा दोन शून्य (Zeros) ठेवा. (उदा. प्रत्येकी एक शून्य ठेवू)
अपूर्णांक बनतील: $\frac{40}{7}, \frac{50}{9}, \frac{70}{11}$
आता अंदाजे भागाकार करा (पूर्ण भागाकार करण्याची गरज नाही).
$\frac{40}{7} \approx 5.7$
$\frac{50}{9} \approx 5.5$
$\frac{70}{11} \approx 6.3$
येथे $6.3$ ही संख्या सर्वात मोठी आहे, जी $\frac{70}{11}$ वरून आली.
म्हणून सर्वात मोठा अपूर्णांक $\frac{7}{11}$ आहे.
प्रकार ४: आवर्ती दशांश अपूर्णांकांची बेरीज-वजाबाकी
प्रश्न: $3.\overline{24} + 2.\overline{15} = ?$
अनेक विद्यार्थी याला आधी व्यवहारी अपूर्णांकात (Fraction) रूपांतरित करतात: $3 + \frac{24}{99} + 2 + \frac{15}{99}$. हे बरोबर आहे, पण वेळखाऊ आहे.
शॉर्ट ट्रिक:
थेट बेरीज करा. पूर्णांकांची बेरीज पूर्णांकांशी आणि आवर्ती अंकांची बेरीज आवर्ती अंकांशी.
पूर्णांक: $3 + 2 = 5$
आवर्ती भाग: $24 + 15 = 39$
उत्तर: $5.\overline{39}$ (लक्षात ठेवा: जर आवर्ती अंकांची बेरीज ९९ पेक्षा जास्त गेली, तर १ हा पूर्णांकात मिळवावा लागतो आणि बेरजेतून ९९ वजा करावे लागतात. उदा. $\overline{80} + \overline{30} = \overline{110}$. येथे $1$ पुढे जाईल आणि $110 - 99 = 11$ उरेल. उत्तर $1.\overline{11}$ येईल.)
स्पर्धा परीक्षेसाठी गोल्डन टिप्स (Golden Tips for Exam):
पर्याय वगळणे (Option Elimination): अपूर्णांकाचे कोणतेही मोठे उदाहरण सोडवताना नेहमी पर्यायांवर लक्ष ठेवा. बऱ्याचदा छेदाचा लसावी बघूनच ४ पैकी २ पर्याय चुकीचे असल्याचे लगेच समजते.
डिजिटल सम (Digital Sum): शाब्दिक उदाहरणात जेथे मोठ्या अपूर्णांकांचा गुणाकार विचारला आहे, तेथे अंकांची बेरीज (Digital Sum) $9$ आणण्याच्या पद्धतीचा वापर करा. यामुळे वेळेची मोठी बचत होते.
चिन्हांची गफलत टाळा: BODMAS मध्ये सर्वात जास्त चुका या वजाबाकीचे चिन्ह (Minus Sign) कंसाच्या बाहेर असताना होतात. कंसाबाहेर वजाबाकीचे चिन्ह असल्यास आतील सर्व पदांची चिन्हे बदलतात, हे नेहमी लक्षात ठेवा.
अपूर्णांक
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
