कोन

 

कोन म्हणजे काय?

जेव्हा दोन किरण (Rays) एकाच आरंभबिंदूतून (Starting point) उगम पावतात, तेव्हा त्या आकृतीला कोन असे म्हणतात.

• ज्या बिंदूतून हे दोन किरण निघतात, त्याला कोनाचा शिरोबिंदू (Vertex) म्हणतात.

• त्या दोन किरणांना कोनाच्या भुजा किंवा बाजू (Arms of the angle) म्हणतात.

कोनाचे माप सामान्यतः अंशामध्ये (Degrees) मोजले जाते. कोनाचे माप दर्शवण्यासाठी आपण $\circ$ या चिन्हाचा वापर करतो. कोनाचे नाव लिहिताना आपण $\angle$ या चिन्हाचा वापर करतो. उदाहरणार्थ, $\angle ABC = 45^\circ$.

---

कोनाचे प्रमुख प्रकार

कोनाच्या मापानुसार कोनाचे विविध प्रकार पडतात. हे प्रकार समजून घेणे अत्यंत गरजेचे आहे कारण यावर आधारित अनेक शाब्दिक उदाहरणे परीक्षेत येतात.

1. शून्य कोन (Zero Angle):

ज्या कोनाचे माप $0^\circ$ असते, त्याला शून्य कोन म्हणतात. यामध्ये कोनाच्या दोन्ही भुजा एकमेकांवर तंतोतंत जुळलेल्या असतात, त्यांच्यात कोणतेही अंतर नसते.

2. लघुकोन (Acute Angle):

ज्या कोनाचे माप $0^\circ$ पेक्षा जास्त आणि $90^\circ$ पेक्षा कमी असते, त्याला लघुकोन असे म्हणतात.

• अट: $0^\circ < \theta < 90^\circ$

• उदाहरण: $30^\circ, 45^\circ, 89^\circ$ हे सर्व लघुकोन आहेत.

3. काटकोन (Right Angle):

ज्या कोनाचे माप अचूक $90^\circ$ असते, त्याला काटकोन म्हणतात. काटकोनात दोन रेषा एकमेकांना लंब (Perpendicular) असतात.

• अट: $\theta = 90^\circ$

4. विशालकोन (Obtuse Angle):

ज्या कोनाचे माप $90^\circ$ पेक्षा जास्त पण $180^\circ$ पेक्षा कमी असते, त्याला विशालकोन म्हणतात.

• अट: $90^\circ < \theta < 180^\circ$

• उदाहरण: $100^\circ, 150^\circ, 179^\circ$ हे विशालकोन आहेत.

5. सरळकोन (Straight Angle):

ज्या कोनाचे माप अचूक $180^\circ$ असते, त्याला सरळकोन म्हणतात. हा कोन एक सरळ रेषा तयार करतो. कोनाच्या दोन्ही भुजा एकमेकांच्या विरुद्ध दिशेला असतात.

• अट: $\theta = 180^\circ$

6. प्रविशाल कोन किंवा प्रगल्भ कोन (Reflex Angle):

ज्या कोनाचे माप $180^\circ$ पेक्षा जास्त आणि $360^\circ$ पेक्षा कमी असते, त्याला प्रविशाल कोन म्हणतात.

• अट: $180^\circ < \theta < 360^\circ$

• उदाहरण: $200^\circ, 270^\circ, 350^\circ$

7. पूर्ण कोन (Complete Angle):

ज्या कोनाचे माप अचूक $360^\circ$ असते, त्याला पूर्ण कोन म्हणतात. जेव्हा एखादा किरण एक पूर्ण वर्तुळाकार फेरी मारून पुन्हा मूळ जागी येतो, तेव्हा $360^\circ$ चा कोन तयार होतो.

• अट: $\theta = 360^\circ$

---

कोनांच्या जोड्या (Pairs of Angles)

परीक्षेच्या दृष्टिकोनातून हा सर्वात महत्त्वाचा भाग आहे. दोन कोनांमधील संबंधांवरून त्यांच्या जोड्या ठरतात.

1. कोटिकोण (Complementary Angles):

ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज अचूक $90^\circ$ असते, त्या कोनांना परस्परांचे कोटिकोण म्हणतात.

• जर एका कोनाचे माप $x$ असेल, तर त्याच्या कोटिकोनाचे माप $(90^\circ - x)$ असते.

• उदाहरण: $40^\circ$ आणि $50^\circ$ हे एकमेकांचे कोटिकोण आहेत, कारण $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$.

2. पूरककोन (Supplementary Angles):

ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज अचूक $180^\circ$ असते, त्या कोनांना परस्परांचे पूरककोन म्हणतात.

• जर एका कोनाचे माप $y$ असेल, तर त्याच्या पूरककोनाचे माप $(180^\circ - y)$ असते.

• उदाहरण: $110^\circ$ आणि $70^\circ$ हे एकमेकांचे पूरककोन आहेत, कारण $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$.

3. रेषीय जोडीतील कोन (Angles in a Linear Pair):

जेव्हा दोन संलग्न कोनांच्या (शेजारील कोनांच्या) सामायिक नसलेल्या भुजा एक सरळ रेषा तयार करतात, तेव्हा त्यांना रेषीय जोडीतील कोन म्हणतात.

• महत्त्वाचा गुणधर्म: रेषीय जोडीतील कोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी $180^\circ$ असते. (म्हणजेच ते एकमेकांचे पूरककोन असतात).

4. विरुद्ध कोन (Vertically Opposite Angles):

जेव्हा दोन रेषा एकमेकींना छेदतात, तेव्हा छेदबिंदूवर समोरासमोर तयार होणाऱ्या कोनांना विरुद्ध कोन म्हणतात.

• महत्त्वाचा गुणधर्म: विरुद्ध कोनांची मापे नेहमी समान असतात.

---

समांतर रेषा आणि छेदिकेमुळे होणारे कोन (Parallel Lines and a Transversal)

जेव्हा दोन समांतर रेषांना एक तिरपी रेषा (छेदिका / Transversal) छेदते, तेव्हा एकूण 8 कोन तयार होतात. या 8 कोनांमध्ये काही विशिष्ट संबंध असतात. स्पर्धा परीक्षांमध्ये आकृती देऊन कोनाचे माप विचारले जाते, त्यासाठी हे गुणधर्म पाठ असणे आवश्यक आहे.

समजा, रेषा $l$ आणि रेषा $m$ या एकमेकींना समांतर आहेत ($l \parallel m$) आणि रेषा $n$ ही त्यांची छेदिका आहे.

येथे तयार होणाऱ्या कोनांच्या जोड्या खालीलप्रमाणे आहेत:

1. संगत कोन (Corresponding Angles):

छेदिकेच्या एकाच बाजूला आणि समांतर रेषांच्या एकाच दिशेला (उदा. दोन्ही रेषांच्या वर किंवा दोन्ही रेषांच्या खाली) असणाऱ्या कोनांना संगत कोन म्हणतात.

• गुणधर्म: जर दोन रेषा समांतर असतील, तर संगत कोनांच्या जोड्या समान मापाच्या असतात.

• एकूण 4 जोड्या तयार होतात.

• आकृतीनुसार संगत कोनांच्या जोड्या (4 जोड्या):

  • $\angle 1$ आणि $\angle 5$ (रेषांच्या वर, छेदिकेच्या डावीकडे)

  • $\angle 2$ आणि $\angle 6$ (रेषांच्या वर, छेदिकेच्या उजवीकडे)

  • $\angle 4$ आणि $\angle 8$ (रेषांच्या खाली, छेदिकेच्या डावीकडे)

  • $\angle 3$ आणि $\angle 7$ (रेषांच्या खाली, छेदिकेच्या उजवीकडे

2. व्युत्क्रम कोन (Alternate Angles):

छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंना असणाऱ्या आणि विरुद्ध दिशा दर्शवणाऱ्या कोनांना व्युत्क्रम कोन म्हणतात. याचे दोन प्रकार आहेत:

• आंतर व्युत्क्रम कोन (Alternate Interior Angles): समांतर रेषांच्या आतील बाजूला असणारे. (हे Z आकारासारखे दिसतात).

• आकृतीनुसार जोड्या: $\angle 4$ आणि $\angle 6$, तसेच $\angle 3$ आणि $\angle 5$.

• बाह्य व्युत्क्रम कोन (Alternate Exterior Angles): समांतर रेषांच्या बाहेरील बाजूला असणारे.

• आकृतीनुसार जोड्या: $\angle 1$ आणि $\angle 7$, तसेच $\angle 2$ आणि $\angle 8$.

• गुणधर्म: समांतर रेषांच्या बाबतीत, व्युत्क्रम कोनांच्या जोड्या समान मापाच्या असतात.

3. आंतरकोन (Interior Angles on the same side of transversal):

छेदिकेच्या एकाच बाजूला आणि दोन्ही समांतर रेषांच्या आत असणाऱ्या कोनांना आंतरकोन म्हणतात. (हे C आकारासारखे दिसतात).

• गुणधर्म (अतिशय महत्त्वाचे): समांतर रेषांच्या आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी $180^\circ$ असते. म्हणजेच ते एकमेकांचे पूरककोन असतात.

• आकृतीनुसार आंतरकोनांच्या जोड्या:

  • $\angle 4$ आणि $\angle 5$ (छेदिकेच्या डाव्या बाजूचे आंतरकोन)

  • $\angle 3$ आणि $\angle 6$ (छेदिकेच्या उजव्या बाजूचे आंतरकोन)

---

घड्याळातील कोन 

बुद्धिमत्ता चाचणी (Mental Ability) आणि गणित या दोन्ही विभागांत घड्याळाच्या काट्यांमधील कोन विचारले जातात. हे सोडवण्यासाठी काही बेसिक कन्सेप्ट्स आणि सुपर फास्ट ट्रिक्स खालीलप्रमाणे आहेत.

मूलभूत संकल्पना (Basic Concepts):

घड्याळाचा डायल हा एक वर्तुळ असतो, म्हणजेच संपूर्ण घड्याळ $360^\circ$ चे असते. त्यात 12 तास असतात.

• तास काटा (Hour Hand):

  • 12 तासात तास काटा $360^\circ$ फिरतो.

  • म्हणून, 1 तासात तास काटा $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ फिरतो.

  • 1 मिनिटात तास काटा $\frac{30^\circ}{60} = 0.5^\circ$ किंवा $\frac{1^\circ}{2}$ फिरतो.

• मिनिट काटा (Minute Hand):

  • 60 मिनिटांत मिनिट काटा $360^\circ$ फिरतो.

  • म्हणून, 1 मिनिटात मिनिट काटा $\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ$ फिरतो.

• सापेक्ष वेग (Relative Speed): एका मिनिटात मिनिट काटा $6^\circ$ पुढे जातो आणि तास काटा $0.5^\circ$ पुढे जातो. त्यामुळे त्यांच्यातील प्रत्यक्ष फरक $6^\circ - 0.5^\circ = 5.5^\circ$ प्रति मिनिट असतो.

---

शॉर्ट ट्रिक्स आणि स्पर्धा परीक्षेतील प्रश्न प्रकार 

आता आपण परीक्षेत प्रत्यक्ष कसे प्रश्न येतात आणि ते जलद गतीने कसे सोडवायचे ते पाहूया.

प्रकार 1: घड्याळातील कोन काढणे (शॉर्ट ट्रिक)

शॉर्ट ट्रिक सूत्र (Shortcut Formula):

कोणत्याही दिलेल्या वेळेला तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यातील कोन काढण्यासाठी खालील जादुई सूत्राचा वापर करा:

$$\text{Angle } (\theta) = \left| 30H - \frac{11}{2}M \right|$$

किंवा

$$\theta = | 30H - 5.5M |$$

येथे, $H$ = तास (Hour) आणि $M$ = मिनिटे (Minutes).

(टीप: दोन उभ्या रेषा $|...|$ म्हणजेच Modulus. याचा अर्थ उत्तर जर वजा/Negative आले तरी ते अधिक/Positive च घ्यायचे.)

उदाहरण 1: दुपारी 4 वाजून 20 मिनिटांनी (4:20) तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यात किती अंशाचा कोन असेल?

स्पष्टीकरण:

येथे $H = 4$ आणि $M = 20$. सूत्रामध्ये किमती ठेवू:

$$\theta = \left| 30 \times 4 - \frac{11}{2} \times 20 \right|$$

$$\theta = | 120 - 11 \times 10 |$$

$$\theta = | 120 - 110 |$$

$$\theta = 10^\circ$$

उत्तर: $10^\circ$ चा कोन असेल.

उदाहरण 2: सकाळी 8 वाजून 15 मिनिटांनी (8:15) घड्याळाच्या काट्यांमध्ये किती अंशाचा कोन असेल?

स्पष्टीकरण:

येथे $H = 8$ आणि $M = 15$.

$$\theta = | 30 \times 8 - 5.5 \times 15 |$$

$$\theta = | 240 - 82.5 |$$

$$\theta = 157.5^\circ$$

उत्तर: $157.5^\circ$ चा कोन असेल.

(टीप: जर सूत्राने आलेले उत्तर $180^\circ$ पेक्षा जास्त आले (उदा. $200^\circ$), आणि पर्यायामध्ये तो कोन नसेल, तर आलेले उत्तर $360^\circ$ मधून वजा करा. कारण घड्याळात एकाच वेळी दोन कोन तयार होतात - एक आतला आणि एक बाहेरचा प्रविशाल कोन.)

प्रकार 2: कोटिकोण आणि पूरककोन यावरील शाब्दिक उदाहरणे

या प्रकारच्या प्रश्नांमध्ये बऱ्याचदा कोनांच्या मापांचे गुणोत्तर (Ratio) किंवा त्यांच्यातील फरक दिलेला असतो.

उदाहरण 3: एका कोनाचे माप त्याच्या पूरककोनाच्या मापाच्या $\frac{1}{4}$ पट आहे, तर त्या कोनाचे माप किती?

स्पष्टीकरण:

समजा, तो कोन $x$ आहे.

त्याचा पूरककोन $= (180^\circ - x)$

उदाहरणातील अटीनुसार, कोन हा पूरककोनाच्या $\frac{1}{4}$ आहे.

$$x = \frac{1}{4} \times (180^\circ - x)$$

4 ला डावीकडे गुणण्यासाठी नेऊ:

$$4x = 180^\circ - x$$

$$4x + x = 180^\circ$$

$$5x = 180^\circ$$

$$x = \frac{180^\circ}{5}$$

$$x = 36^\circ$$

उत्तर: त्या कोनाचे माप $36^\circ$ आहे.

उदाहरण 4: एका कोनाचा कोटिकोण आणि पूरककोन यांच्या मापांचे गुणोत्तर $2:5$ आहे, तर त्या कोनाचे माप काढा.

स्पष्टीकरण:

असे प्रश्न सोडवताना नेहमी एक बेसिक नियम लक्षात ठेवा:

कोणत्याही कोनाच्या पूरककोन आणि कोटिकोण यांच्यातील फरक नेहमी $90^\circ$ असतो.

(कारण: पूरककोन $(180^\circ - x)$ - कोटिकोण $(90^\circ - x) = 90^\circ$)

प्रश्नात गुणोत्तर $2:5$ दिले आहे. समजा कोटिकोण $2y$ आणि पूरककोन $5y$ आहे.

त्यांच्यातील फरक:

$$5y - 2y = 90^\circ$$

$$3y = 90^\circ$$

$$y = 30^\circ$$

म्हणून, कोटिकोण $= 2y = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

जर कोनाचा कोटिकोण $60^\circ$ असेल, तर तो कोन किती असेल?

कोन $+ 60^\circ = 90^\circ$

कोन $= 30^\circ$.

उत्तर: त्या कोनाचे माप $30^\circ$ आहे. (ही अत्यंत वेगवान आणि प्रभावी ट्रिक आहे!)

प्रकार 3: समांतर रेषांवरील आकृतीचे प्रश्न (Zig-Zag Lines)

स्पर्धा परीक्षेत अनेकदा दोन समांतर रेषांच्या मध्ये M किंवा W आकाराची झिग-झॅग रेषा काढून कोन विचारले जातात.

उदाहरण 5: दोन समांतर रेषा $AB \parallel CD$ आहेत. त्यांच्या मध्ये बिंदू $O$ असा आहे की $\angle ABO = 40^\circ$ आणि $\angle CDO = 35^\circ$. तर $\angle BOD$ चे माप काढा.

शॉर्ट ट्रिक: अशा प्रश्नांमध्ये एक सोपा नियम आहे:

उजवीकडे तोंड केलेल्या कोनांची बेरीज = डावीकडे तोंड केलेल्या कोनांची बेरीज

येथे $O$ जवळचा कोन हा $40^\circ$ आणि $35^\circ$ या दोन्ही कोनांच्या बेरजेइतका असतो.

$$\angle BOD = \angle ABO + \angle CDO$$

$$\angle BOD = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ$$

उत्तर: $\angle BOD = 75^\circ$.

---

परीक्षेत लक्षात ठेवण्यासारख्या काही महत्त्वाच्या टिप्स (Golden Tips for Exams)

1. कधीही घाई करू नका: प्रश्न 'कोटिकोण' विचारलाय की 'पूरककोन' हे नीट वाचा. अनेकदा $90^\circ$ मधून वजा करायचे असते आणि आपण $180^\circ$ मधून करतो.

2. घड्याळाचे प्रश्न: जर प्रश्न "घड्याळाचे दोन्ही काटे एकावर एक कधी येतील? ($0^\circ$)" किंवा "एकमेकांच्या विरुद्ध कधी असतील? ($180^\circ$)" असा असेल, तर $\frac{60}{11} \times H$ ही ट्रिक वापरा.

3. त्रिकोणाचे बाह्यकोन: त्रिकोणाच्या कोणत्याही बाह्यकोनाचे माप हे त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या मापांच्या बेरजेएवढे असते. हा नियम अनेक भौमितिक आकृत्या सोडवताना उपयोगी पडतो.

4. बहुभुजाकृतीच्या (Polygon) सर्व बाह्यकोनांची बेरीज नेहमी $360^\circ$ असते, हे सूत्र कोनांचे कठीण प्रश्न सोडवण्यासाठी उपयुक्त ठरते.

कोन

Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes

Time Left: 20:00

---