चौकोन भाग 2

भूमितीचा अभ्यास करताना आपण आयत, चौरस आणि समांतरभुज चौकोन यांसारख्या आकृत्यांचा नेहमीच अभ्यास करतो. परंतु, स्पर्धा परीक्षांमध्ये विद्यार्थ्यांची खरी कसोटी लागते ती 'समलंब चौकोन', 'पतंग' आणि 'बहुभुजाकृती' यांसारख्या कमी चर्चिल्या जाणाऱ्या, पण अत्यंत महत्त्वाच्या संकल्पनांवर. या लेखात आपण या आकृत्यांचे गुणधर्म, त्यांची सूत्रे, ती सूत्रे कशी तयार झाली (व्युत्पत्ती) आणि परीक्षेतील उदाहरणे कमी वेळेत सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या 'शॉर्ट ट्रिक्स'चा सविस्तर अभ्यास करणार आहोत.

चला तर मग, भूमितीतील या रंजक घटकाला सुरुवात करूया!

१. समलंब चौकोन (Trapezium)

व्याख्या: ज्या चौकोनाच्या संमुख बाजूंची (समोरासमोरील बाजूंची) केवळ एकच जोडी समांतर असते, त्या चौकोनाला 'समलंब चौकोन' असे म्हणतात.

गुणधर्म (Rules & Properties):

समलंब चौकोनात समांतर असणाऱ्या बाजूंना 'पाया' (Bases) म्हणतात आणि समांतर नसणाऱ्या बाजूंना 'असमांतर बाजू' (Legs) म्हणतात.
समांतर बाजूंच्या मधील लंब अंतराला त्या चौकोनाची 'उंची' (Height) म्हणतात.
समांतर नसणाऱ्या बाजू एकमेकींना छेदू शकतात (जर आपण त्यांना पुढे वाढवले तर).
लगतच्या कोनांची जोडी (जी समांतर नसलेल्या बाजूंवर तयार होते) नेहमी पूरक (Supplementary) असते. म्हणजेच त्यांची बेरीज $180^\circ$ असते. जर समांतर बाजू $AB$ आणि $CD$ असतील, तर $\angle A + \angle D = 180^\circ$ आणि $\angle B + \angle C = 180^\circ$ .

समद्विभुज समलंब चौकोन (Isosceles Trapezium):

जर समलंब चौकोनाच्या असमांतर बाजू समान लांबीच्या असतील, तर त्याला समद्विभुज समलंब चौकोन म्हणतात.

या प्रकारात, पायावरील कोनांच्या जोड्या समान मापाच्या असतात.
याचे दोन्ही कर्ण (Diagonals) लांबीने समान असतात.

समलंब चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र आणि त्याची व्युत्पत्ती:

आपल्याला हे सूत्र पाठ असते, पण ते कसे आले हे समजल्यास तुम्ही ते कधीही विसरणार नाही.

सूत्र:

\text{Area} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h

(येथे $a$ आणि $b$ या समांतर बाजूंची लांबी आहे आणि $h$ ही उंची आहे.)

हे सूत्र कसे तयार झाले? (व्युत्पत्ती):

समजा, तुमच्याकडे एक समलंब चौकोन $ABCD$ आहे, ज्यामध्ये $AB$ आणि $CD$ समांतर आहेत. जर आपण $A$ पासून $C$ पर्यंत एक कर्ण (Diagonal) काढला, तर त्या चौकोनाचे दोन त्रिकोणांत विभाजन होते: त्रिकोण $ABC$ आणि त्रिकोण $ADC$ .

त्रिकोण $ADC$ चा पाया $CD$ (समजा $b$ ) आहे आणि उंची $h$ आहे. त्याचे क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times b \times h$ .
त्रिकोण $ABC$ चा पाया $AB$ (समजा $a$ ) आहे. या त्रिकोणाची उंची देखील $h$ च असेल (कारण दोन समांतर रेषांमधील अंतर सर्वत्र समान असते). त्याचे क्षेत्रफळ = $\frac{1}{2} \times a \times h$ .
दोन्ही त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज केल्यास:

\text{Total Area} = (\frac{1}{2} \times a \times h) + (\frac{1}{2} \times b \times h)

यातून $\frac{1}{2}$ आणि $h$ सामायिक (Common) काढल्यास, आपल्याला मिळते:

\text{Area} = \frac{1}{2} \times h \times (a + b)

२. पतंग (Kite)

व्याख्या: ज्या चौकोनात लगतच्या बाजूंच्या दोन जोड्या समान लांबीच्या असतात, परंतु समोरासमोरील बाजू समान नसतात, त्याला 'पतंग' असे म्हणतात.

गुणधर्म (Rules & Properties):

पतंगाचे दोन कर्ण एकमेकांना काटकोनात ( $90^\circ$ मध्ये) छेदतात.
यातील एक कर्ण हा दुसऱ्या कर्णाला दुभागतो (Bisect करतो). लक्षात ठेवा, दोन्ही कर्ण एकमेकांना दुभागत नाहीत, फक्त एकच कर्ण दुसऱ्याचे दोन समान भाग करतो.
जो कर्ण दुभागतो, तो पतंगाच्या समान नसलेल्या कोनांना जोडतो.
मुख्य कर्ण (जो दुसऱ्याला दुभागतो) हा पतंगाच्या समोरासमोरील कोनांना देखील दुभागतो.
समान नसलेल्या बाजूंच्या छेदनबिंदूवर तयार होणारे दोन कोन समान मापाचे असतात.

पतंगाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र:

पतंगाचे क्षेत्रफळ त्याच्या कर्णांच्या लांबीवर अवलंबून असते. जर कर्णांची लांबी $d_1$ आणि $d_2$ असेल, तर:

\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2

हे सूत्र का काम करते? कारण पतंगाचे कर्ण एकमेकांना काटकोनात छेदतात. त्यामुळे पतंगाचे चार काटकोन त्रिकोणांत विभाजन होते. या त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज केल्यास हे सोपे सूत्र मिळते. (कोणत्याही चौकोनाचे कर्ण जर एकमेकांना लंब असतील, तर त्याचे क्षेत्रफळ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ याच सूत्राने काढता येते).

३. बहुभुजाकृती (Polygons)

व्याख्या: तीन किंवा तीनपेक्षा जास्त सरळ रेषाखंडांनी बंदिस्त असलेल्या आकृतीला 'बहुभुजाकृती' (Polygon) म्हणतात. त्रिकोण, चौकोन, पंचकोन, षटकोन हे सर्व बहुभुजाकृतीचेच प्रकार आहेत.

सुसम (Regular) विरुद्ध विषम (Irregular) बहुभुजाकृती:

सुसम बहुभुजाकृती (Regular Polygon): ज्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असतात आणि सर्व आंतरकोन समान मापाचे असतात, तिला सुसम बहुभुजाकृती म्हणतात. (उदा. समभुज त्रिकोण, चौरस).
विषम बहुभुजाकृती (Irregular Polygon): ज्या बहुभुजाकृतीच्या बाजू किंवा कोन असमान असतात, तिला विषम बहुभुजाकृती म्हणतात. (उदा. आयत, विषमभुज त्रिकोण).

आंतरकोन आणि बाह्यकोन काढण्याचे जागतिक सूत्र:

बहुभुजाकृतीवर आधारित प्रश्न सोडवण्यासाठी खालील सूत्रे अत्यंत महत्त्वाची आहेत. समजा बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या $n$ आहे.

१. सर्व आंतरकोनांची बेरीज (Sum of Interior Angles):

\text{Sum} = (n - 2) \times 180^\circ

हे सूत्र कसे आले? कोणत्याही $n$ बाजू असलेल्या आकृतीत एका शिरोबिंदूतून कर्ण काढल्यास $(n - 2)$ त्रिकोण तयार होतात. एका त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज $180^\circ$ असते, म्हणून $(n-2)$ त्रिकोणांची बेरीज $(n-2) \times 180^\circ$ होईल.

२. प्रत्येक आंतरकोनाचे माप (Each Interior Angle) - फक्त सुसम आकृतीसाठी:

\text{Interior Angle} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}

३. सर्व बाह्यकोनांची बेरीज (Sum of Exterior Angles):

आकृतीला कितीही बाजू असल्या तरी (त्रिकोण असो वा १०० बाजूंचा बहुभुज), त्याच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज नेहमी $360^\circ$ च असते.

\text{Sum of Exterior Angles} = 360^\circ

४. प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप (Each Exterior Angle) - फक्त सुसम आकृतीसाठी:

\text{Exterior Angle} = \frac{360^\circ}{n}

महत्त्वाचा नियम: कोणताही आंतरकोन आणि त्याचा लगतचा बाह्यकोन हे नेहमी रेषीय जोडीतील कोन (Linear Pair) असतात. त्यामुळे त्यांची बेरीज नेहमी $180^\circ$ असते.

\text{Interior Angle} + \text{Exterior Angle} = 180^\circ

कर्णांची संख्या मोजण्याचे तंत्र (Number of Diagonals):

कोणत्याही बहुभुजाकृतीत एकूण किती कर्ण काढता येतील हे शोधण्यासाठी खालील सूत्र वापरतात:

\text{Number of Diagonals} = \frac{n(n - 3)}{2}

यामागचे तर्कशास्त्र काय आहे? एका शिरोबिंदूतून आपण स्वतःला आणि लगतच्या दोन शिरोबिंदूंना वगळून इतर सर्व शिरोबिंदूंना रेषा जोडू शकतो. म्हणजे एका बिंदूतून $(n - 3)$ कर्ण काढता येतात. असे $n$ शिरोबिंदू असतात, म्हणून $n \times (n - 3)$ . पण यामध्ये प्रत्येक कर्ण दोनदा मोजला जातो (बिंदू A कडून B कडे आणि B कडून A कडे). म्हणून त्याला 2 ने भागावे लागते.

४. हेक्सागॉन (Hexagon) आणि ऑक्टागॉन (Octagon)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये 'सुसम षटकोन' (Regular Hexagon) आणि 'सुसम अष्टकोन' (Regular Octagon) यांवर विशेष भर दिला जातो.

सुसम षटकोन (Regular Hexagon):

बाजूंची संख्या $n = 6$ .
प्रत्येक आंतरकोन = $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$ .
सुसम षटकोनाचे मुख्य कर्ण काढल्यास त्याचे ६ एकरूप समभुज त्रिकोणांमध्ये (Equilateral Triangles) विभाजन होते. ही याची सर्वात मोठी खासियत आहे!
क्षेत्रफळाचे सूत्र:
एका समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ असते. षटकोनात असे ६ त्रिकोण असतात.

\text{Area of Regular Hexagon} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2

सुसम अष्टकोन (Regular Octagon):

बाजूंची संख्या $n = 8$ .
प्रत्येक आंतरकोन = $\frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ$ .
क्षेत्रफळाचे सूत्र:
जर अष्टकोनाची बाजू $a$ असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ खालील सूत्राने काढतात:

\text{Area of Regular Octagon} = 2(1 + \sqrt{2})a^2

५. शॉर्ट ट्रिक्स आणि सोडवलेली उदाहरणे (Short Tricks & Solved Examples)

परीक्षेत वेळेची बचत करण्यासाठी या 'शॉर्ट ट्रिक्स' नक्की वापरा.

Trick 1: बाजूंची संख्या ( $n$ ) शोधणे.

जर तुम्हाला सुसम बहुभुजाकृतीचा आंतरकोन दिला असेल आणि बाजूंची संख्या विचारली असेल, तर आंतरकोनाच्या सूत्रात न अडकता थेट बाह्यकोन काढा आणि त्याला 360 ने भागा.

उदाहरण: एका सुसम बहुभुजाकृतीचा प्रत्येक आंतरकोन $144^\circ$ आहे. तर त्या आकृतीच्या बाजूंची संख्या किती?

Step 1: बाह्यकोन काढा. ( $180^\circ - \text{आंतरकोन}$ )
बाह्यकोन = $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$
Step 2: $n = \frac{360^\circ}{\text{बाह्यकोन}}$
$n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$

उत्तर: त्या आकृतीला 10 बाजू आहेत (दशकोन).

Trick 2: आंतरकोन आणि बाह्यकोन यांच्या गुणोत्तरावरून बाजू काढणे.

उदाहरण: एका सुसम बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोन आणि बाह्यकोनाचे गुणोत्तर 3:1 आहे. तर त्याच्या कर्णांची संख्या किती?

Step 1: समजा आंतरकोन $3x$ आणि बाह्यकोन $1x$ आहे.
आपल्याला माहीत आहे, त्यांची बेरीज $180^\circ$ असते.
$3x + 1x = 180^\circ$ $\Rightarrow$ $4x = 180^\circ$ $\Rightarrow$ $x = 45^\circ$ .
म्हणजेच बाह्यकोन $45^\circ$ आहे.
Step 2: बाजूंची संख्या ( $n$ ) काढा.
$n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$ (अष्टकोन)
Step 3: कर्णांची संख्या काढा.
$\text{Diagonals} = \frac{n(n - 3)}{2} = \frac{8(8 - 3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

उत्तर: 20 कर्ण.

Trick 3: समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ जलद काढणे.

उदाहरण: एका समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजू 14 cm आणि 18 cm आहेत आणि त्यांच्यातील लंब अंतर 10 cm आहे. क्षेत्रफळ काढा.

Step 1: समांतर बाजूंची सरासरी काढा. (Average of bases)
$\frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Step 2: या सरासरीला थेट उंचीने गुणा.
$16 \times 10 = 160 \text{ cm}^2$
(ही ट्रिक $\frac{1}{2}(a+b)h$ याच सूत्राचे सोपे रूप आहे. निमपट शेवटी करण्यापेक्षा आधीच सरासरी काढल्यास गुणाकार सोपा होतो.)