नफा आणि तोटा

स्पर्धा परीक्षांची तयारी करत असताना गणितातील सर्वात महत्त्वाचा आणि हमखास गुण मिळवून देणारा घटक म्हणजे 'नफा आणि तोटा'. आपण दैनंदिन जीवनात अनेक वस्तूंची खरेदी-विक्री करतो, त्यामुळे हा घटक समजायला अगदी सोपा आहे. चला तर मग, या घटकातील सर्व संकल्पना, सूत्रे आणि परीक्षांमध्ये विचारले जाणारे प्रश्न प्रकार अगदी सोप्या भाषेत समजून घेऊया.

१. मूलभूत संकल्पना (Basic Concepts)

नफा आणि तोटा समजून घेण्यासाठी आपल्याला बाजारातील व्यवहारांशी संबंधित काही मूलभूत संज्ञा माहीत असणे आवश्यक आहे:

खरेदी किंमत (Cost Price - CP): ज्या किमतीला एखादी वस्तू विकत घेतली जाते, त्या किमतीला त्या वस्तूची खरेदी किंमत म्हणतात.
विक्री किंमत (Selling Price - SP): ज्या किमतीला एखादी वस्तू विकली जाते, त्या किमतीला त्या वस्तूची विक्री किंमत म्हणतात.
छापील किंमत (Marked Price - MP): वस्तूच्या वेष्टनावर (पॅकिंगवर) किंवा टॅगवर जी किंमत छापलेली असते, तिला छापील किंमत म्हणतात. सूट नेहमी याच किमतीवर दिली जाते.

२. नफा आणि तोटा केव्हा होतो? (When does Profit or Loss occur?)

नफा (Profit): जेव्हा वस्तूची विक्री किंमत ही खरेदी किमतीपेक्षा जास्त असते, तेव्हा 'नफा' होतो.

नफा = विक्री किंमत - खरेदी किंमत

\text{Profit} = \text{SP} - \text{CP}

तोटा (Loss):

जेव्हा वस्तूची खरेदी किंमत ही विक्री किमतीपेक्षा जास्त असते, तेव्हा 'तोटा' होतो.

तोटा = खरेदी किंमत - विक्री किंमत

\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP}

उदाहरणाने समजून घेऊ:

समजा, तुम्ही एक पेन $20$ रुपयांना विकत घेतला (खरेदी किंमत = $20$ ) आणि तो $25$ रुपयांना विकला (विक्री किंमत = $25$ ).

येथे विक्री किंमत जास्त आहे, म्हणून नफा झाला.

नफा = $25 - 20 = 5$ रुपये.

३. शेकडा नफा आणि शेकडा तोटा (Percentage Profit and Loss)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये फक्त नफा किंवा तोटा विचारला जात नाही, तर 'शेकडा नफा' किंवा 'शेकडा तोटा' विचारला जातो. शेकडा म्हणजे $100$ रुपयांवर किती?

सर्वांत महत्त्वाचा नियम: शेकडा नफा किंवा शेकडा तोटा हा नेहमी खरेदी किमतीवरच (CP) काढला जातो (जोपर्यंत गणितात विक्री किमतीवर काढायला सांगितले नसेल). खरेदी किंमत ही नेहमी पाया (Base) मानली जाते.

शेकडा नफा काढण्याचे सूत्र:

\text{Percentage Profit} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100

शेकडा तोटा काढण्याचे सूत्र:

\text{Percentage Loss} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100

उदाहरण:

एका दुकानदाराने एक सायकल $4000$ रुपयांना खरेदी केली आणि $5000$ रुपयांना विकली. तर त्याचा शेकडा नफा किती?

खरेदी किंमत (CP) = $4000$
विक्री किंमत (SP) = $5000$
नफा = $5000 - 4000 = 1000$
शेकडा नफा = $\frac{1000}{4000} \times 100 = 25\%$

४. खरेदी किंमत किंवा विक्री किंमत थेट काढण्याची सूत्रे

जेव्हा तुम्हाला शेकडा नफा/तोटा दिलेला असतो आणि CP किंवा SP काढायची असते, तेव्हा खालील सूत्रांचा वापर करा. ही सूत्रे पाठ करण्यापेक्षा समजून घेणे सोपे आहे. खरेदी किंमत नेहमी $100\%$ मानायची असते.

A) जेव्हा शेकडा नफा दिलेला असतो:

विक्री किंमत (SP) = $\text{CP} \times \frac{100 + \text{Profit } \%}{100}$
खरेदी किंमत (CP) = $\text{SP} \times \frac{100}{100 + \text{Profit } \%}$

B) जेव्हा शेकडा तोटा दिलेला असतो:

विक्री किंमत (SP) = $\text{CP} \times \frac{100 - \text{Loss } \%}{100}$
खरेदी किंमत (CP) = $\text{SP} \times \frac{100}{100 - \text{Loss } \%}$

५. सूट आणि कमिशन (Discount and Commission)

सूट (Discount): ग्राहकांना आकर्षित करण्यासाठी दुकानदार छापील किमतीवर काही रक्कम कमी करतो, त्या रकमेला 'सूट' म्हणतात.

नियम: सूट ही नेहमी छापील किमतीवर (Marked Price) दिली जाते.

\text{Discount} = \text{Marked Price} - \text{Selling Price}

शेकडा सूट (Percentage Discount):

\text{Percentage Discount} = \frac{\text{Discount}}{\text{Marked Price}} \times 100

कमिशन (Commission):

एखाद्या कंपनीचा माल विकून दिल्याबद्दल एजंटला किंवा मध्यस्थाला जी ठराविक रक्कम मिळते, त्याला कमिशन म्हणतात. कमिशन हे नेहमी विक्री किमतीवर किंवा एकूण व्यवहाराच्या रकमेवर ठरवले जाते.

६. शॉर्ट ट्रिक्स

वेळेची बचत करण्यासाठी खालील ट्रिक्स अत्यंत उपयुक्त ठरतात. प्रत्येक ट्रिक एका विशिष्ट प्रकारच्या प्रश्नासाठी आहे.

ट्रिक १: जेव्हा 'x' वस्तूंची खरेदी किंमत 'y' वस्तूंच्या विक्री किमतीएवढी असते.

अशा वेळी नफा किंवा तोटा थेट काढण्यासाठी:

\text{Percentage Profit / Loss} = \frac{x - y}{y} \times 100

(जर उत्तर धन (Positive) आले तर नफा आणि ऋण (Negative) आले तर तोटा समजायचा.)

उदाहरण: $15$ सफरचंदांची खरेदी किंमत ही $12$ सफरचंदांच्या विक्री किमतीइतकी आहे. तर शेकडा नफा किती?

येथे $x = 15, y = 12$ .

\text{Percentage Profit} = \frac{15 - 12}{12} \times 100 = \frac{3}{12} \times 100 = 25\%

ट्रिक २: सलग सूट (Successive Discounts)

जर छापील किमतीवर अनुक्रमे $A\%$ आणि $B\%$ अशी दोन वेळा सलग सूट दिली असेल, तर एकूण (समतुल्य) सूट काढण्याचे सूत्र:

\text{Equivalent Discount} = \left( A + B - \frac{A \times B}{100} \right) \%

उदाहरण: एका शर्टवर आधी $20\%$ आणि नंतर $10\%$ अशी सलग सूट दिली, तर एकूण सूट किती?

$A = 20, B = 10$ .

\text{Total Discount} = 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} = 30 - 2 = 28\%

(लक्षात ठेवा, $20 + 10 = 30\%$ सूट मिळत नाही, तर प्रत्यक्ष सूट $28\%$ असते.)

ट्रिक ३: सारखीच विक्री किंमत आणि सारखाच शेकडा नफा/तोटा

जेव्हा दोन वस्तूंची विक्री किंमत (SP) समान असते, आणि एका वस्तूवर $X\%$ नफा व दुसऱ्या वस्तूवर $X\%$ तोटा होत असेल, तर या संपूर्ण व्यवहारात नेहमी तोटाच होतो.

हा तोटा काढण्याचे सूत्र:

\text{Percentage Loss} = \frac{X^2}{100} \%

उदाहरण: एका व्यक्तीने दोन टीव्ही प्रत्येकी $15000$ रुपयांना विकले. एकावर त्याला $20\%$ नफा झाला व दुसऱ्यावर $20\%$ तोटा झाला. तर एकूण व्यवहारात काय झाले?

येथे विक्री किंमत समान आहे आणि $X = 20$ .

\text{Percentage Loss} = \frac{20^2}{100} = \frac{400}{100} = 4\%

या व्यवहारात $4\%$ तोटा झाला.

ट्रिक ४: खोटा वजन काटा (Dishonest Dealer)

जेव्हा एखादा व्यापारी वस्तू खरेदी किमतीलाच विकण्याचा दावा करतो, पण वजन करताना कमी वजन वापरतो, तेव्हा त्याला नेहमी नफा होतो.

\text{Percentage Profit} = \frac{\text{Error}}{\text{True Value} - \text{Error}} \times 100

किंवा

\text{Percentage Profit} = \frac{\text{True Weight} - \text{False Weight}}{\text{False Weight}} \times 100

उदाहरण: एक व्यापारी माल खरेदी किमतीवरच विकतो, पण $1$ किलो ( $1000$ ग्रॅम) ऐवजी $900$ ग्रॅम वजन वापरतो. तर त्याचा शेकडा नफा किती?

खरी किंमत (True Weight) = $1000$ ग्रॅम, खोटे वजन (False Weight) = $900$ ग्रॅम.

\text{Percentage Profit} = \frac{1000 - 900}{900} \times 100 = \frac{100}{900} \times 100 = \frac{100}{9} = 11.11\%

७. विविध प्रश्न प्रकार आणि स्पष्टीकरण

आता आपण प्रत्यक्ष परीक्षेत विचारले जाणारे वेगवेगळ्या काठिण्य पातळीचे प्रश्न पाहू.

प्रकार १: खरेदी व विक्री किमतीवरून नफा/तोटा काढणे (सोपे)

प्रश्न: एका माणसाने एक जुनी मोटारसायकल $25000$ रुपयांना घेतली आणि तिच्या दुरुस्तीसाठी $5000$ रुपये खर्च केले. नंतर ती गाडी त्याने $33000$ रुपयांना विकली. तर त्याला शेकडा किती नफा झाला?

स्पष्टीकरण:

येथे फक्त खरेदी किंमत विचारात घेऊन चालणार नाही. दुरुस्तीचा खर्च हा खरेदी किमतीतच मिळवावा लागतो. याला एकूण खरेदी किंमत म्हणतात.

एकूण खरेदी किंमत (CP) = $25000 + 5000 = 30000$ रुपये.

विक्री किंमत (SP) = $33000$ रुपये.

नफा = $33000 - 30000 = 3000$ रुपये.

\text{Percentage Profit} = \frac{3000}{30000} \times 100 = 10\%

प्रकार २: शेकडा नफ्यावरून खरेदी/विक्री किंमत काढणे

प्रश्न: एक खुर्ची $840$ रुपयांना विकल्याने व्यापाऱ्याला $20\%$ नफा होतो. तर त्या खुर्चीची खरेदी किंमत किती असेल?

स्पष्टीकरण:

समजा खरेदी किंमत $100\%$ आहे.

$20\%$ नफा म्हणजे विक्री किंमत $= 100\% + 20\% = 120\%$ .

गणितात ही $120\%$ म्हणजे $840$ रुपये दिले आहेत.

जर $120\% = 840$ , तर $100\% = ?$

\text{CP} = \frac{840 \times 100}{120} = 7 \times 100 = 700 \text{ Rs.}

खुर्चीची खरेदी किंमत $700$ रुपये.

प्रकार ३: दोन वेळा खरेदी-विक्री (Chain Transactions)

प्रश्न: A ने एक वस्तू B ला $10\%$ नफ्याने विकली. B ने तीच वस्तू C ला $20\%$ नफ्याने विकली. जर C ने त्यासाठी $2640$ रुपये दिले असतील, तर A ची खरेदी किंमत किती?

स्पष्टीकरण:

समजा A ची खरेदी किंमत $= x$

x \times \frac{110}{100} \times \frac{120}{100} = 2640

x \times \frac{11}{10} \times \frac{12}{10} = 2640

x = \frac{2640 \times 100}{132}

x = 20 \times 100 = 2000

A ची खरेदी किंमत $2000$ रुपये होती.

प्रकार ४: किंमत वाढवून त्यावर सूट देणे (Markup and Discount)

प्रश्न: एक व्यापारी आपल्या वस्तूची छापील किंमत खरेदी किमतीपेक्षा $40\%$ जास्त लावतो आणि ग्राहकांना $25\%$ सूट देतो. तर त्याचा शेकडा नफा किंवा तोटा किती?

स्पष्टीकरण:

मानूया की खरेदी किंमत (CP) $= 100$ रुपये.

छापील किंमत (MP) ही $40\%$ जास्त आहे, म्हणजे $100 + 40 = 140$ रुपये.

आता या $140$ रुपयांवर $25\%$ सूट दिली आहे.

सूट $= 140 \times \frac{25}{100} = 35$ रुपये.

विक्री किंमत (SP) $= \text{MP} - \text{Discount} = 140 - 35 = 105$ रुपये.

खरेदी किंमत $100$ होती आणि विक्री किंमत $105$ आहे. म्हणजेच $5$ रुपयांचा नफा झाला.

$100$ वर $5$ रुपये म्हणजे $5\%$ नफा.