सरळ व्याज व चक्रवाढ व्याज

व्याजाच्या मूलभूत संकल्पना

व्याज म्हणजे काय? सोप्या भाषेत सांगायचे तर, जेव्हा आपण एखाद्याकडून पैसे उधार घेतो किंवा बँकेत पैसे गुंतवतो, तेव्हा त्या पैशांचा वापर केल्याबद्दल दिला जाणारा किंवा मिळणारा जास्तीचा मोबदला म्हणजे 'व्याज' होय.

या घटकात प्रामुख्याने खालील चार महत्त्वाच्या संज्ञा वापरल्या जातात:

मुद्दल (Principal - $P$ ): जी मूळ रक्कम आपण कर्जाने घेतो किंवा बँकेत गुंतवतो, त्या रकमेला मुद्दल म्हणतात.
व्याजाचा दर (Rate of Interest - $R$ ): 100 रुपयांवर 1 वर्षासाठी जे व्याज आकारले जाते, त्याला व्याजाचा दर म्हणतात. हा दर साधारणपणे 'दसादशे' (दर साल दर शेकडा - p.c.p.a.) असा सांगितला जातो.
काळ/मुदत (Time/Duration - $T$ किंवा $N$ ): ज्या कालावधीसाठी रक्कम उधार दिली जाते किंवा गुंतवली जाते, त्याला काळ म्हणतात. हा काळ साधारणपणे वर्षांमध्ये मोजला जातो.
रास (Amount - $A$ ): मुद्दल आणि व्याज मिळून जी एकूण रक्कम तयार होते, तिला रास म्हणतात.
सूत्र: $A = P + I$ (रास = मुद्दल + व्याज)

भाग १: सरळ व्याज (Simple Interest)

सरळ व्याज म्हणजे असे व्याज जे दरवर्षी फक्त 'मूळ मुद्दलावरच' आकारले जाते. यात दरवर्षी मिळणारे व्याज समान असते. म्हणजेच जर 1000 रुपयांवर पहिल्या वर्षी 100 रुपये व्याज मिळाले, तर दुसऱ्या आणि तिसऱ्या वर्षीही 100 रुपयेच व्याज मिळेल.

सरळ व्याजाचे मुख्य सूत्र

सरळ व्याज काढण्यासाठी आपण खालील सूत्राचा वापर करतो:

I = \frac{P \times R \times T}{100}

हे सूत्र कसे तयार झाले?

जर $R$ हा दर असेल, तर 100 रुपयांवर 1 वर्षाचे व्याज $R$ रुपये असते.

म्हणून 1 रुपयावर 1 वर्षाचे व्याज $\frac{R}{100}$ असेल.

तर $P$ रुपयांवर 1 वर्षाचे व्याज $P \times \frac{R}{100}$ असेल.

आणि $T$ वर्षांसाठी तेच व्याज $P \times \frac{R}{100} \times T$ होईल. यातूनच हे सूत्र तयार झाले आहे.

या एकाच सूत्रावरून आपण मुद्दल, दर किंवा काळ काढण्यासाठी इतर सूत्रे तयार करू शकतो:

मुद्दल काढण्यासाठी: $P = \frac{I \times 100}{R \times T}$
दर काढण्यासाठी: $R = \frac{I \times 100}{P \times T}$
काळ काढण्यासाठी: $T = \frac{I \times 100}{P \times R}$

सरळ व्याजावरील प्रश्नांचे प्रकार आणि स्पष्टीकरण

प्रकार 1: सरळ व्याजाची मूलभूत गणना

प्रश्न: 5000 रुपयांचे 8% दसादशे दराने 3 वर्षांचे सरळ व्याज आणि रास किती होईल?

स्पष्टीकरण:

येथे, $P = 5000$ , $R = 8$ , $T = 3$

सरळ व्याजाच्या सूत्रानुसार:

I = \frac{5000 \times 8 \times 3}{100}

I = 50 \times 8 \times 3 = 1200

म्हणजेच 3 वर्षांचे व्याज 1200 रुपये होईल.

आता रास ( $A$ ) काढूया:

$A = P + I$

$A = 5000 + 1200 = 6200$ रुपये.

प्रकार 2: कालावधी महिन्यांत किंवा दिवसांत दिला असल्यास

व्याजाचा दर हा वार्षिक (p.c.p.a.) असतो. त्यामुळे जर कालावधी महिन्यांत किंवा दिवसांत दिला असेल, तर त्याचे रूपांतर आधी 'वर्षात' करणे अत्यंत गरजेचे आहे.

जर महिने दिले असतील, तर त्याला 12 ने भागा. (उदा. 4 महिने = $\frac{4}{12}$ वर्षे)
जर दिवस दिले असतील, तर त्याला 365 ने भागा. (उदा. 73 दिवस = $\frac{73}{365}$ वर्षे)

प्रश्न: 7300 रुपयांचे 5% दराने 100 दिवसांचे सरळ व्याज किती?

स्पष्टीकरण:

येथे $P = 7300$ , $R = 5$ , $T = 100$ दिवस.

काळाचे वर्षात रूपांतर: $T = \frac{100}{365}$ वर्षे.

I = \frac{P \times R \times T}{100}

I = \frac{7300 \times 5 \times 100}{100 \times 365}

येथे 73 च्या पाढ्यातील संख्या असल्याने भाग देणे सोपे जाते ( $73 \times 100 = 7300$ आणि $73 \times 5 = 365$ ).

I = \frac{100 \times 5 \times 100}{100 \times 5} = 100

व्याज 100 रुपये येईल.

शॉर्ट ट्रिक्स: सरळ व्याज

स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळ वाचवणे सर्वात महत्त्वाचे असते. त्यासाठी खालील ट्रिक्स खूप उपयुक्त ठरतात.

ट्रिक 1: "दुपट, तिप्पट" (n पट) होण्यावरील प्रश्न

जेव्हा एखादी रक्कम ठराविक वर्षांत स्वतःच्या 'n' पट होते, तेव्हा व्याजाचा दर किंवा काळ काढण्यासाठी:

R = \frac{(n - 1) \times 100}{T} \quad \text{किंवा} \quad T = \frac{(n - 1) \times 100}{R}

उदा. एका रकमेची सरळ व्याजाने 10 वर्षांत दुप्पट होते, तर व्याजाचा दर किती?

येथे $n = 2$ (दुप्पट), $T = 10$ .

$R = \frac{(2 - 1) \times 100}{10} = \frac{1 \times 100}{10} = 10$

उत्तर: व्याजाचा दर 10% असेल.

ट्रिक 2: दोन वेगवेगळ्या कालावधीतील रास दिली असता

जर $T_1$ वर्षांची रास $A_1$ असेल आणि $T_2$ वर्षांची रास $A_2$ असेल, तर:

1 वर्षाचे व्याज = $\frac{A_2 - A_1}{T_2 - T_1}$

यावरून 1 वर्षाचे व्याज मिळेल, जे वजा करून तुम्ही मुद्दल काढू शकता.

उदा. एका रकमेची सरळ व्याजाने 2 वर्षांत रास 1200 रुपये आणि 5 वर्षांत रास 1500 रुपये होते. तर मुद्दल किती?

5 वर्षांची रास = 1500
2 वर्षांची रास = 1200
3 वर्षांचे व्याज ( $1500 - 1200$ ) = 300 रुपये.
जर 3 वर्षांचे व्याज 300 रुपये, तर 1 वर्षाचे व्याज = $\frac{300}{3} = 100$ रुपये.
2 वर्षांचे व्याज = 200 रुपये.
मुद्दल = रास - व्याज = $1200 - 200 = 1000$ रुपये.

भाग २: चक्रवाढ व्याज (Compound Interest)

चक्रवाढ व्याज ही संकल्पना सरळ व्याजापेक्षा थोडी वेगळी आणि अधिक फायदेशीर (गुंतवणूकदारासाठी) असते. चक्रवाढ व्याजात दरवर्षी व्याज फक्त मुद्दलावरच मिळत नाही, तर 'मागील वर्षी मिळालेल्या व्याजावरही व्याज' मिळते.

वरील आलेख किंवा संकल्पना लक्षात घेतल्यास तुम्हाला दिसेल की, सुरुवातीला सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज सारखेच असते (पहिल्या वर्षासाठी). परंतु जसजसा काळ पुढे जातो, तसतसे चक्रवाढ व्याज वेगाने वाढते कारण व्याजावर व्याज आकारले जाऊ लागते.

चक्रवाढ व्याजाचे मुख्य सूत्र

चक्रवाढ व्याजाने थेट 'रास' (Amount) काढण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

A = P \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N

(येथे $N$ म्हणजे वर्षांची संख्या किंवा कालावधी)

रास मिळाल्यानंतर चक्रवाढ व्याज (CI) काढण्यासाठी:

CI = A - P

प्रकार 1: चक्रवाढ व्याजाची मूलभूत गणना

प्रश्न: 10000 रुपयांचे 10% दसादशे दराने 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज किती?

सूत्रानुसार पद्धत:

येथे $P = 10000$ , $R = 10$ , $N = 2$

A = 10000 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2

A = 10000 \times \left(\frac{110}{100}\right)^2 = 10000 \times \left(\frac{11}{10}\right)^2

A = 10000 \times \frac{121}{100} = 100 \times 121 = 12100

रास = 12100 रुपये.

चक्रवाढ व्याज = $A - P = 12100 - 10000 = 2100$ रुपये.

व्याजाची आकारणी सहामाही (Half-yearly) किंवा तिमाही (Quarterly) असल्यास:

जेव्हा बँकेकडून व्याज दर सहा महिन्यांनी खात्यात जमा केले जाते, तेव्हा:

दर अर्धा होतो: $R_{new} = \frac{R}{2}$
काळ दुप्पट होतो: $N_{new} = 2 \times N$

जेव्हा व्याज तिमाही (दर तीन महिन्यांनी) आकारले जाते:

दर पावपट होतो: $R_{new} = \frac{R}{4}$
काळ चौपट होतो: $N_{new} = 4 \times N$

शॉर्ट ट्रिक्स: चक्रवाढ व्याज

चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र वापरणे अनेकदा खूप वेळखाऊ ठरते, विशेषतः जेव्हा घातांक मोठा असतो. अशा वेळी खालील पद्धतींचा अवलंब करावा.

ट्रिक 1: गुणोत्तर पद्धत (Ratio Method / Effective Rate Method)

2 वर्षांसाठी प्रभावी दर (Effective Rate) काढण्याचे सूत्र:

R_{eff} = 2R + \frac{R^2}{100}

जर व्याजाचा दर 10% असेल, तर 2 वर्षांसाठी चक्रवाढ व्याज दर:

$R_{eff} = 2(10) + \frac{10^2}{100} = 20 + 1 = 21\%$

म्हणजेच, 10000 चे थेट 21% काढले की 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज मिळते.

$10000 \times \frac{21}{100} = 2100$ रुपये. (सूत्र न वापरता सेकंदात उत्तर!)

3 वर्षांसाठी गुणोत्तर पद्धत (3:3:1 Rule):

जर तुम्हाला 3 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज काढायचे असेल, तर 3:3:1 हा रेशो लक्षात ठेवा.

उदा. $P = 10000$ , $R = 10\%$ , $T = 3$ वर्षे

पायरी 1: 10000 चे 10% = 1000
पायरी 2: 1000 चे 10% = 100
पायरी 3: 100 चे 10% = 10

आता या तिन्ही किमतींना अनुक्रमे 3, 3 आणि 1 ने गुणा.

$1000 \times 3 = 3000$
$100 \times 3 = 300$
$10 \times 1 = 10$
एकूण चक्रवाढ व्याज = $3000 + 300 + 10 = 3310$ रुपये.

भाग ३: सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज यांच्यातील फरक

हा स्पर्धा परीक्षांचा सर्वात आवडता प्रश्न प्रकार आहे. बहुतांश वेळा 2 किंवा 3 वर्षांच्या व्याजातील फरक विचारला जातो.

ट्रिक 1: 2 वर्षांच्या व्याजातील फरक

जर मुद्दल $P$ आणि दर $R$ असेल, तर 2 वर्षांच्या सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याजातील फरक ( $D$ ) काढण्याचे सूत्र:

D = P \times \left(\frac{R}{100}\right)^2

प्रश्न: 5000 रुपयांवर 8% दराने 2 वर्षांच्या चक्रवाढ व्याज व सरळ व्याजात किती फरक असेल?

स्पष्टीकरण:

$P = 5000$ , $R = 8$

D = 5000 \times \left(\frac{8}{100}\right)^2

D = 5000 \times \frac{64}{10000}

D = \frac{5 \times 64}{10} = \frac{320}{10} = 32

फरक = 32 रुपये.

ट्रिक 2: 3 वर्षांच्या व्याजातील फरक

3 वर्षांसाठी हे सूत्र थोडे वाढते:

D = P \times \left(\frac{R}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300 + R}{100}\right)

प्रश्न: एका रकमेवर 10% दराने 3 वर्षांच्या सरळ व चक्रवाढ व्याजातील फरक 62 रुपये आहे, तर मुद्दल शोधा.

स्पष्टीकरण:

$D = 62$ , $R = 10$ , $P = ?$

62 = P \times \left(\frac{10}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300 + 10}{100}\right)

62 = P \times \left(\frac{1}{10}\right)^2 \times \left(\frac{310}{100}\right)

62 = P \times \frac{1}{100} \times \frac{31}{10}

P = \frac{62 \times 1000}{31} = 2 \times 1000 = 2000

मुद्दल = 2000 रुपये.

संकीर्ण उदाहरणे

प्रश्न: दसादशे 5% दराने एका रकमेचे दुसऱ्या वर्षाचे चक्रवाढ व्याज 420 रुपये आहे, तर ती रक्कम कोणती?

(लक्षात घ्या, इथे 2 वर्षांचे एकूण व्याज दिलेले नाही, तर फक्त 'दुसऱ्या' वर्षाचे व्याज दिले आहे.)

स्पष्टीकरण:

समजा पहिल्या वर्षाचे व्याज $X$ आहे.

दुसऱ्या वर्षी व्याजावर व्याज लागते. म्हणजेच पहिल्या वर्षाचे व्याज $X$ + $X$ चे 5% व्याज = 420

X + X \times \frac{5}{100} = 420

X \times \left(1 + \frac{1}{20}\right) = 420

X \times \frac{21}{20} = 420

X = \frac{420 \times 20}{21} = 20 \times 20 = 400

पहिल्या वर्षाचे व्याज 400 रुपये आहे.

पहिल्या वर्षाचे चक्रवाढ व्याज हे सरळ व्याजाएवढेच असते.

आता आपल्याला व्याज (400) आणि दर (5%) माहित आहे. मुद्दल काढूया:

P = \frac{I \times 100}{R \times T} = \frac{400 \times 100}{5 \times 1} = 80 \times 100 = 8000

उत्तर: ती रक्कम 8000 रुपये आहे.

महत्त्वाच्या टिप्स

पहिल्या वर्षाचा नियम: पहिल्या वर्षासाठी सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज नेहमी समान असते (जर व्याज आकारणी वार्षिक असेल).
शेकडेवारीचा वापर: व्याज हा शेकडेवारीचाच (Percentage) एक भाग आहे. त्यामुळे शेकडेवारीवर चांगली पकड असल्यास व्याजाचे प्रश्न तोंडी सोडवता येतात. (उदा. 10% म्हणजे मुद्दलाचा 10 वा भाग).
गणितातील कॅल्क्युलेशन: सूत्रामध्ये किमती टाकल्यानंतर लगेच गुणाकार करू नका. अंशातील आणि छेदातील संख्या आधी भाग देऊन लहान करा. (उदा. 100 मधील शून्ये कट करणे).
प्रश्नाचे नीट वाचन: परीक्षेत प्रश्न नीट वाचा - "व्याज विचारले आहे की रास?", "दर वार्षिक आहे की सहामाही?", "फरक विचारला आहे की एकूण रक्कम?" हे लक्षपूर्वक पाहणे आवश्यक आहे.

या सर्व संकल्पना, सूत्रे आणि ट्रिक्सचा जर तुम्ही सराव केलात, तर 'सरळ व्याज व चक्रवाढ व्याज' हा घटक तुमच्यासाठी अत्यंत सोपा आणि गुण मिळवून देणारा ठरेल. गणितात पाठांतरापेक्षा सरावाला जास्त महत्त्व असते, त्यामुळे वरील सूत्रांवर आधारित जास्तीत जास्त प्रश्न सोडवण्याचा प्रयत्न करा.