संख्यांचे प्रकार आणि स्थानिक किंमत

१. संख्यांचे विविध प्रकार आणि त्यांचे गुणधर्म

संख्यांच्या गुणधर्मांनुसार त्यांचे अनेक प्रकार पडतात. प्रत्येक प्रकाराची व्याख्या आणि नियम खालीलप्रमाणे आहेत:

अ) नैसर्गिक संख्या

व्याख्या: वस्तू मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या संख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.
सुरुवात: या संख्यांची सुरुवात $1$ पासून होते.
सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या: $1$
सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या: सांगता येत नाही (अनंत).
संच: $\{1, 2, 3, 4, \dots\}$

ब) पूर्ण संख्या

व्याख्या: नैसर्गिक संख्यांच्या समूहात $0$ चा समावेश केल्यास जो संच मिळतो, त्याला पूर्ण संख्या म्हणतात.
सर्वात लहान पूर्ण संख्या: $0$
नियम: सर्व नैसर्गिक संख्या या पूर्ण संख्या असतात, परंतु सर्व पूर्ण संख्या या नैसर्गिक संख्या नसतात (कारण $0$ ही नैसर्गिक संख्या नाही).
संच: $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$

क) पूर्णांक संख्या

व्याख्या: सर्व धन संख्या, सर्व ऋण संख्या आणि शून्य यांच्या समूहाला पूर्णांक संख्या म्हणतात.
नियम: शून्याच्या उजवीकडे धन संख्या आणि डावीकडे ऋण संख्या असतात.
संच: $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$

ड) परिमेय संख्या

व्याख्या: ज्या संख्या $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येतात, त्यांना परिमेय संख्या म्हणतात.
अट: येथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक असावेत आणि $q \neq 0$ असावा.
उदाहरण: $\frac{2}{3}$ , $-\frac{5}{7}$ , $4$ (कारण $4 = \frac{4}{1}$ ), $0.5$ (कारण $0.5 = \frac{1}{2}$ ).

इ) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: ज्या संख्यांची दशांश रूपे अखंड आणि अनावर्ती असतात, त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात. या संख्या $\frac{p}{q}$ स्वरूपात लिहिता येत नाहीत.
उदाहरण: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ .
नोंद: $\pi$ ही अपरिमेय संख्या आहे, परंतु हिशोबासाठी आपण तिची किंमत $\frac{22}{7}$ घेतो जी परिमेय मानली जाते.

२. सम, विषम आणि मूळ संख्या

अ) सम संख्या

व्याख्या: ज्या संख्येला $2$ ने पूर्ण भाग जातो, तिला सम संख्या म्हणतात.
ओळख: संख्येच्या एकक स्थानी $0, 2, 4, 6, 8$ पैकी कोणताही एक अंक असतो.
सूत्र: कोणत्याही सम संख्येचे स्वरूप $2n$ असते.

ब) विषम संख्या

व्याख्या: ज्या संख्येला $2$ ने भागल्यावर $1$ बाकी उरते, तिला विषम संख्या म्हणतात.
ओळख: संख्येच्या एकक स्थानी $1, 3, 5, 7, 9$ पैकी कोणताही एक अंक असतो.
सूत्र: कोणत्याही विषम संख्येचे स्वरूप $2n-1$ किंवा $2n+1$ असते.

क) मूळ संख्या

व्याख्या: ज्या संख्येला फक्त $1$ आणि तीच संख्या अशा दोनच संख्यांनी भाग जातो, तिला मूळ संख्या म्हणतात.
महत्वाचे तथ्य: * $1$ ते $100$ मध्ये एकूण $25$ मूळ संख्या आहेत.
- $2$ ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
- $1$ ही संख्या मूळ ही नाही आणि संयुक्त ही नाही.

ड) संयुक्त संख्या

व्याख्या: ज्या संख्येला $1$ आणि स्वतः व्यतिरिक्त अन्य संख्यांनीही भाग जातो, तिला संयुक्त संख्या म्हणतात.
महत्वाचे तथ्य: $1$ ते $100$ मध्ये एकूण $74$ संयुक्त संख्या आहेत.

३. जोडमूळ आणि सहमूळ संख्या

अ) जोडमूळ संख्या

व्याख्या: ज्या दोन मूळ संख्यांमध्ये फक्त $2$ चा फरक असतो, त्यांना जोडमूळ संख्या म्हणतात.
$1$ ते $100$ मधील जोड्या (एकूण $8$ ):
1. $(3, 5)$
2. $(5, 7)$
3. $(11, 13)$
4. $(17, 19)$
5. $(29, 31)$
6. $(41, 43)$
7. $(59, 61)$
8. $(71, 73)$

ब) सहमूळ संख्या

व्याख्या: ज्या दोन संख्यांमध्ये $1$ व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक विभाजक नसतो, त्यांना सहमूळ संख्या म्हणतात.
उदाहरण: $(8, 9)$ .
- $8$ चे विभाजक: $1, 2, 4, 8$
- $9$ चे विभाजक: $1, 3, 9$
- सामाईक विभाजक फक्त $1$ आहे.

४. स्थानिक किंमत आणि दर्शनी किंमत (Place Value & Face Value)

अ) दर्शनी किंमत (Face Value)

कोणत्याही अंकाची दर्शनी किंमत ही त्या अंकाची स्वतःची मूळ किंमत असते. ती स्थानानुसार बदलत नाही.
उदाहरण: $5482$ या संख्येत $4$ ची दर्शनी किंमत $4$ आहे.

ब) स्थानिक किंमत (Place Value)

अंक ज्या स्थानावर आहे, त्यावरून त्याची स्थानिक किंमत ठरते.
नियम: * एकक स्थानचा अंक $\times 1$
- दशक स्थानचा अंक $\times 10$
- शतक स्थानचा अंक $\times 100$
दशांश अपूर्णांकात: दशांश चिन्हाच्या उजवीकडे जाताना किंमत $\frac{1}{10}$ , $\frac{1}{100}$ या पटीत कमी होते.

तुलनात्मक तक्ता

स्थान	नाव	मूल्य
$10^3$	हजार	$1000$
$10^2$	शतक	$100$
$10^1$	दशक	$10$
$10^0$	एकक	$1$
$10^{-1}$	दशांश	$0.1$
$10^{-2}$	शतांश	$0.01$

५. $1$ ते $100$ अंकांवरील महत्वाचे तथ्य

स्पर्धा परीक्षेत वेळेची बचत करण्यासाठी खालील माहिती तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे:

$1$ ते $100$ पर्यंतच्या सर्व संख्यांची बेरीज: $5050$
$0$ हा अंक: $1$ ते $100$ मध्ये $11$ वेळा येतो (फक्त $10$ संख्यांमध्ये).
$1$ हा अंक: $1$ ते $100$ मध्ये $21$ वेळा येतो.
$2$ ते $9$ पर्यंतचे अंक: प्रत्येकी $20$ वेळा येतात.
एक अंकी एकूण संख्या: $9$ ( $1$ ते $9$ )
दोन अंकी एकूण संख्या: $90$ ( $10$ ते $99$ )
तीन अंकी एकूण संख्या: $900$ ( $100$ ते $999$ )

६. मागील वर्षातील प्रश्न विश्लेषण (PYQ Analysis)

प्रश्न १: २०२५ (MahaTET प्रश्न ९८)

प्रश्न: $5, 7, 8, 0, 2$ या अंकांपासून (अंक एकदाच वापरून) तयार होणाऱ्या सर्वात मोठ्या व सर्वात लहान ५ अंकी संख्येतील फरक किती? (टीप: प्रश्नातील १० आणि १२ ऐवजी ० आणि २ हे अंक गृहीत धरले आहेत).

उकल (Step-by-Step):

१. दिलेले अंक: $8, 7, 5, 2, 0$

२. सर्वात मोठी संख्या तयार करणे: अंक उतरत्या क्रमाने लावणे.

सर्वात मोठी ५ अंकी संख्या $= 87520$

३. सर्वात लहान संख्या तयार करणे: अंक चढत्या क्रमाने लावणे. (महत्वाचे: $0$ सुरुवातीला लिहिल्यास ती ४ अंकी होईल, म्हणून $0$ दुसऱ्या स्थानावर ठेवावा).

सर्वात लहान ५ अंकी संख्या $= 20578$

४. फरक काढणे:

\begin{array}{r l} & 87520 \\ - & 20578 \\ \hline & 66942 \end{array}

(टीप: जर प्रश्न पत्रिकेनुसार उत्तर $86412$ असेल, तर वापरलेले अंक वेगळे असू शकतात, परंतु पद्धत हीच राहील.)

प्रश्न २: २०२४ (MahaTET प्रश्न ११४)

प्रश्न: एका संख्येत $6$ ची स्थानिक किंमत ही $4$ च्या स्थानिक किमतीच्या $150$ पट आहे. तर $6$ अंक कोणत्या स्थानावर आहे ?

समजा संख्या $X64Y$ स्वरूपात आहे.

उकल:

१. $4$ ची स्थानिक किंमत जर दशक स्थानी असेल तर $4 \times 10 = 40$ .

२. $6$ ची स्थानिक किंमत $= 40 \times 150 = 6000$ .

३. याचा अर्थ $6$ हा अंक हजार (Thousand) च्या स्थानावर असावा.

प्रश्न ३: २०१८ (MahaTET प्रश्न ११३)

प्रश्न: $74.376$ मधील पहिल्या $7$ ची स्थानिक किंमत दुसऱ्या $7$ च्या स्थानिक किमतीच्या किती पट आहे?

उकल:

१. पहिल्या $7$ चे स्थान = दशक (Tens).

किंमत $= 7 \times 10 = 70$

२. दुसऱ्या $7$ चे स्थान = शतांश (Hundredths).

किंमत $= 7 \times 0.01 = 0.07$

३. पट काढण्यासाठी भागाकार करू:

\text{पट} = \frac{70}{0.07}

\text{पट} = \frac{70 \times 100}{7}

\text{पट} = \frac{7000}{7} = 1000

उत्तर: पहिल्या $7$ ची स्थानिक किंमत दुसऱ्याच्या $1000$ पट आहे.

७. शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

स्थानिक किमतीतील फरक: जर एखाद्या संख्येत तोच अंक दोन वेळा आला असेल, तर त्यांच्या स्थानिक किमतीतील फरक काढण्यासाठी:
- $(\text{अंक} \times 9) \times (\text{लहान अंकाचे स्थान मूल्य})$
- उदाहरण: $5452$ मधील $5$ च्या किमतीतील फरक $= (5 \times 9) \times 10 = 450$ किंवा $5000 - 50 = 4950$ . (येथे ५ हजार आणि ५ दशक स्थानी आहे).
मूळ संख्या ओळखणे: दिलेली संख्या मूळ आहे का हे पाहण्यासाठी, त्या संख्येच्या पुढची पूर्ण वर्ग संख्या शोधा. त्या वर्गसंख्येच्या मुळापर्यंतच्या सर्व मूळ संख्यांनी दिलेल्या संख्येला भाग देऊन पहा. जर भाग गेला नाही, तर ती मूळ संख्या आहे.
$\frac{p}{q}$ पटीचा नियम: जर एखाद्या अंकाची किंमत दुसऱ्याच्या $X$ पट असेल, तर त्यांच्या स्थानांमधील शून्य मोजा. १ च्या पुढे तितके शून्य म्हणजे पट.

८. सराव उदाहरणे (Practice Examples)

उदाहरण १: $1$ ते $50$ पर्यंतच्या सर्व मूळ संख्यांची बेरीज किती?

उत्तर: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ .

बेरीज $= 328$ .

उदाहरण २: $0.00584$ या संख्येत $8$ या अंकाची स्थानिक किंमत किती?

उकल: $8$ हा दशांश चिन्हापासून चौथ्या स्थानी आहे (सहस्रांश नंतर दशसहस्रांश).

स्थानिक किंमत $= \frac{8}{10000} = 0.0008$ .