संख्यारेषा आणि परिमेय-अपरिमेय संख्या

स्पर्धा परीक्षांची तयारी करताना गणितातील पायाभूत संकल्पना स्पष्ट असणे अत्यंत आवश्यक असते. या लेखात आपण संख्यारेषा, तिच्यावरील परिमेय व अपरिमेय संख्यांचे स्थान आणि संख्यारेषेवरील कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर कसे काढावे, याबद्दल सविस्तर अभ्यास करणार आहोत.

१. संख्यारेषा (Number Line) म्हणजे काय?

संख्यारेषा ही एक सरळ रेषा असते, जिच्यावर ठराविक अंतरावर बिंदू घेऊन त्यांना संख्यांनी दर्शवले जाते.

महत्त्वाचे गुणधर्म:

आरंभबिंदू (Origin): संख्यारेषेच्या मध्यभागी शून्य ( $0$ ) असतो, त्याला आरंभबिंदू म्हणतात. शून्याला धन किंवा ऋण असे कोणतेही चिन्ह नसते.
उजवी बाजू: शून्याच्या उजवीकडे सर्व धन संख्या (Positive Numbers) असतात. (उदा. $1, 2, 3, \dots$ )
डावी बाजू: शून्याच्या डावीकडे सर्व ऋण संख्या (Negative Numbers) असतात. (उदा. $-1, -2, -3, \dots$ )
संख्यारेषेवर डावीकडून उजवीकडे जाताना संख्यांची किंमत वाढत जाते.
संख्यारेषेवर उजवीकडून डावीकडे येताना संख्यांची किंमत कमी होत जाते.

२. संख्यांचे प्रकार आणि संख्यारेषा

संख्यारेषेवरील परिमेय आणि अपरिमेय संख्या समजून घेण्यापूर्वी संख्यांचे मुख्य प्रकार पाहूया:

नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers): मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या संख्या.
संच: $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$
पूर्ण संख्या (Whole Numbers): नैसर्गिक संख्यांमध्ये शून्याचा समावेश केल्यास मिळणारा गट.
संच: $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$
पूर्णांक संख्या (Integers): सर्व धन संख्या, शून्य आणि सर्व ऋण संख्या मिळून पूर्णांक संख्या तयार होतात.
संच: $I = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$

३. परिमेय संख्या (Rational Numbers)

व्याख्या:

ज्या संख्या $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येतात, त्यांना परिमेय संख्या म्हणतात. येथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक असतात आणि $q$ ची किंमत शून्य नसते ( $q \neq 0$ ).

परिमेय संख्यांचे गुणधर्म:

प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही परिमेय संख्या असते. (कारण कोणत्याही पूर्णांकाला आपण छेद $1$ लिहून $\frac{p}{q}$ रूपात मांडू शकतो. उदा. $5 = \frac{5}{1}$ )
दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या असतात.
परिमेय संख्यांचे दशांश रूप (Decimal Form) एकतर खंडित (Terminating) असते किंवा अखंड आवर्ती (Non-terminating recurring) असते.

दशांश रूप काढण्याचे उदाहरण (भागाकार पद्धत):

$\frac{17}{4}$ चे दशांश रूप काढूया.

\begin{array}{r l} 4 ) & 17.00 \quad ( 4.25 \\ - & 16 \downarrow \\ \hline & 010 \\ - & 008 \\ \hline & 0020 \\ - & 0020 \\ \hline & 0000 \end{array}

येथे बाकी $0$ आली, म्हणून हे खंडित दशांश रूप आहे.

४. संख्यारेषेवर परिमेय संख्या दाखवणे

संख्यारेषेवर अपूर्णांक किंवा परिमेय संख्या दाखवताना छेदाकडे लक्ष देणे सर्वात महत्त्वाचे असते.

नियम: परिमेय संख्येच्या छेदात जी संख्या असेल, तेवढे समान भाग संख्यारेषेवरील प्रत्येक एककाचे (उदा. $0$ ते $1$ , $1$ ते $2$ ) करावे लागतात.

उदाहरण १: संख्यारेषेवर $\frac{3}{5}$ आणि $\frac{-2}{5}$ दाखवणे.

येथे छेद $5$ आहे.
त्यामुळे शून्य ते एक, एक ते दोन या प्रत्येक एकक अंतराचे ५ समान भाग करावे लागतील.
शून्यापासून उजवीकडील तिसरी खूण $\frac{3}{5}$ दर्शवेल.
शून्यापासून डावीकडील दुसरी खूण $\frac{-2}{5}$ दर्शवेल.

उदाहरण २: $\frac{7}{3}$ संख्यारेषेवर दाखवणे.

छेद $3$ आहे, म्हणजे प्रत्येक एककाचे ३ भाग होतील.
$\frac{7}{3}$ म्हणजे $2$ पूर्ण आणि $\frac{1}{3}$ .
म्हणजेच $2$ च्या पुढे पहिली खूण ही $\frac{7}{3}$ दर्शवेल.

५. अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)

व्याख्या:

ज्या संख्या $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येत नाहीत, त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात. या संख्यांचे दशांश रूप अखंडित आणि अनावर्ती (Non-terminating and non-recurring) असते.

उदाहरणे:

पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्यांचे वर्गमूळ: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$
गणितीय स्थिरांक: $\pi$ (पाय)

महत्त्वाची नोंद: $\pi$ ची किंमत आपण सोयीसाठी $\frac{22}{7}$ किंवा $3.14$ घेतो, परंतु ती त्याची अंदाजे किंमत आहे. मूळ $\pi$ ही अपरिमेय संख्याच आहे.

६. संख्यारेषेवर अपरिमेय संख्या दाखवणे (पायथागोरसचा सिद्धांत)

संख्यारेषेवर $\sqrt{2}$ दाखवण्यासाठी पायथागोरसच्या सिद्धांताचा वापर केला जातो.

पायथागोरसचा सिद्धांत: काटकोन त्रिकोणात, $\text{कर्ण}^2 = \text{पाया}^2 + \text{उंची}^2$

प्रक्रिया ( $\sqrt{2}$ दाखवणे):

१. संख्यारेषेवर $O$ हा आरंभबिंदू (शून्य) घ्या आणि $A$ हा बिंदू $1$ या एककावर घ्या. (येथे $OA = 1$ एकक)

२. बिंदू $A$ मधून संख्यारेषेवर लंब काढा. या लंबरेषेवर $B$ हा बिंदू असा घ्या की $AB = 1$ एकक.

३. $O$ आणि $B$ जोडा. आता $\triangle OAB$ हा काटकोन त्रिकोण तयार झाला.

४. पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार:

(OB)^2 = (OA)^2 + (AB)^2

(OB)^2 = (1)^2 + (1)^2

(OB)^2 = 1 + 1 = 2

OB = \sqrt{2}

५. आता कंपासमध्ये $O$ हे केंद्र आणि $OB$ एवढी त्रिज्या घेऊन संख्यारेषेवर एक कंस काढा. हा कंस संख्यारेषेला ज्या बिंदूत छेदतो, तो बिंदू $\sqrt{2}$ दर्शवतो.

७. संख्यारेषेवरील दोन बिंदूंमधील अंतर (Distance Between Two Points)

संख्यारेषेवरील कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर हे त्यांच्या निर्देशकांच्या (Coordinates) फरकाएवढे असते.

नियम व सूत्र:

१. प्रथम दोन्ही बिंदूंचे निर्देशक पहा.

२. त्यातील मोठा निर्देशक कोणता आणि लहान निर्देशक कोणता ते ठरवा. (धन संख्या नेहमी ऋण संख्येपेक्षा मोठी असते. दोन ऋण संख्यांमध्ये जी संख्या शून्याच्या जवळ असते ती मोठी असते. उदा. $-2 > -5$ )

३. सूत्र: दोन बिंदूंमधील अंतर $=$ मोठा निर्देशक $-$ लहान निर्देशक

जर बिंदू $P$ चा निर्देशक $x$ आणि बिंदू $Q$ चा निर्देशक $y$ असेल, आणि $x > y$ असेल, तर:

d(P, Q) = x - y

अंतर कधीही ऋण (Negative) नसते. ते नेहमी धन वास्तव संख्या असते.

उदाहरणे:

उदाहरण १ (दोन्ही धन निर्देशक): बिंदू $A$ चा निर्देशक $5$ आणि $B$ चा निर्देशक $2$ आहे. $d(A, B)$ काढा.

मोठा निर्देशक $= 5$ , लहान निर्देशक $= 2$
अंतर $= 5 - 2 = 3$ एकक

उदाहरण २ (एक धन आणि एक ऋण निर्देशक):

बिंदू $P$ चा निर्देशक $-3$ आणि $Q$ चा निर्देशक $4$ आहे. $d(P, Q)$ काढा.

मोठा निर्देशक $= 4$ , लहान निर्देशक $= -3$
अंतर $= 4 - (-3)$
अंतर $= 4 + 3 = 7$ एकक

उदाहरण ३ (दोन्ही ऋण निर्देशक):

बिंदू $M$ चा निर्देशक $-2$ आणि $N$ चा निर्देशक $-8$ आहे. $d(M, N)$ काढा.

मोठा निर्देशक $= -2$ , लहान निर्देशक $= -8$
अंतर $= -2 - (-8)$
अंतर $= -2 + 8 = 6$ एकक

८. शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks & Shortcuts)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळ वाचवण्यासाठी खालील ट्रिक्सचा वापर करा:

ट्रिक १: दोन बिंदूंमधील अंतर तोंडी काढणे

जर दोन्ही चिन्हे समान असतील (दोन्ही धन किंवा दोन्ही ऋण): तर निर्देशकांची केवळ वजाबाकी करा (मोठ्यातून लहान वजा करा).
उदा. $-15$ आणि $-5$ मधील अंतर $\rightarrow 15 - 5 = 10$
जर दोन्ही चिन्हे विरुद्ध असतील (एक धन आणि एक ऋण): तर चिन्हांचा विचार न करता दोन्ही अंकांची बेरीज करा.
उदा. $-7$ आणि $4$ मधील अंतर $\rightarrow 7 + 4 = 11$

ट्रिक २: दोन परिमेय संख्यांमधील लहान-मोठेपणा ठरवणे (Cross Multiplication Trick)

दोन अपूर्णांक दिले असतील आणि कोणता मोठा हे ठरवायचे असेल, तर तिरकस गुणाकार करा.

उदा. $\frac{5}{7}$ आणि $\frac{4}{9}$ यांत लहान-मोठेपणा ठरवा.

पहिला गुणाकार: अंश १ $\times$ छेद २ $\rightarrow 5 \times 9 = 45$
दुसरा गुणाकार: अंश २ $\times$ छेद १ $\rightarrow 4 \times 7 = 28$
येथे $45 > 28$ आहे. त्यामुळे पहिला अपूर्णांक मोठा आहे.
उत्तर: $\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$

ट्रिक ३: दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यानची परिमेय संख्या शोधणे

जर $a$ आणि $b$ या दोन परिमेय संख्या असतील, तर त्यांच्या अगदी मधोमध असणारी संख्या काढण्यासाठी खालील सूत्र वापरा:

\text{मधली संख्या} = \frac{a + b}{2}

९. परिमेय व अपरिमेय संख्यांचे गुणधर्म - एका दृष्टीक्षेपात

बेरीज/वजाबाकी: एक परिमेय आणि एक अपरिमेय संख्येची बेरीज किंवा वजाबाकी नेहमी अपरिमेय संख्याच असते. (उदा. $2 + \sqrt{3}$ )
गुणाकार/भागाकार: शून्येतर परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्या यांचा गुणाकार किंवा भागाकार नेहमी अपरिमेय संख्या असतो. (उदा. $5\sqrt{2}$ )
दोन अपरिमेय संख्यांवर क्रिया: दोन अपरिमेय संख्यांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार किंवा भागाकार हा परिमेय किंवा अपरिमेय असू शकतो.
उदा. $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ (परिमेय)
उदा. $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ (अपरिमेय)

१०. सराव प्रश्न व स्पष्टीकरण (परीक्षेच्या दृष्टिकोनातून)

प्रश्न १: जर $A$ चा निर्देशक $\frac{1}{2}$ आणि $B$ चा निर्देशक $\frac{-3}{4}$ असेल, तर $d(A, B)$ किती?

स्पष्टीकरण:

मोठा निर्देशक $= \frac{1}{2}$ , लहान निर्देशक $= \frac{-3}{4}$

d(A, B) = \frac{1}{2} - \left(\frac{-3}{4}\right)

d(A, B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}

छेद समान करू:

d(A, B) = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \text{ एकक}

प्रश्न २: संख्यारेषेवर एका बिंदूचा निर्देशक $-4$ आहे. या बिंदूपासून $5$ एकक अंतरावर असणाऱ्या बिंदूंचे निर्देशक कोणते असतील?

स्पष्टीकरण:

संख्यारेषेवर $-4$ पासून डावीकडे आणि उजवीकडे दोन्ही बाजूंना $5$ एकक अंतरावर बिंदू असू शकतात.

उजवीकडील बिंदूचा निर्देशक $= -4 + 5 = 1$
डावीकडील बिंदूचा निर्देशक $= -4 - 5 = -9$
म्हणून, ते निर्देशक $1$ किंवा $-9$ असतील.

येथे लेख समाप्त होतो. वर दिलेल्या सर्व सूत्रांचा, नियमांचा आणि शॉर्ट ट्रिक्सचा वापर करून तुम्ही परीक्षांमधील संख्यारेषा आणि परिमेय-अपरिमेय संख्यांवरील कोणतेही उदाहरण अचूक आणि वेगाने सोडवू शकता.