लसावि आणि मसावि (LCM and HCF)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये गणितातील अत्यंत महत्त्वाचा आणि गुणांची हमी देणारा घटक म्हणजे 'लसावि आणि मसावि'. या घटकावर आधारित प्रश्न सोडवण्यासाठी केवळ पाढे पाठ असणे पुरेसे नाही, तर या मागील संकल्पना आणि गुणधर्म स्पष्ट असणे आवश्यक आहे. खालील नोट्समध्ये आपण या संकल्पना अगदी शून्यातून शिकणार आहोत.

१. मसावि (महत्तम सामाईक विभाजक) - संकल्पना

व्याख्या: दिलेल्या दोन किंवा अधिक संख्यांना पूर्ण भाग जाणारी मोठ्यात मोठी संख्या म्हणजे त्या संख्यांचा मसावि होय. थोडक्यात सांगायचे तर, अशी सर्वात मोठी संख्या जिच्या पाढ्यामध्ये दिलेल्या सर्व संख्या येतात.

उदाहरणाने समजून घेऊया:

$12$ आणि $18$ चा मसावि काढायचा आहे.

$12$ चे विभाजक (ज्यांनी $12$ ला भाग जातो): $1, 2, 3, 4, 6, 12$
$18$ चे विभाजक (ज्यांनी $18$ ला भाग जातो): $1, 2, 3, 6, 9, 18$
सामाईक विभाजक (दोन्हींमध्ये असलेले): $1, 2, 3, 6$
यातील सर्वात मोठा विभाजक: $6$
म्हणून, $12$ आणि $18$ चा मसावि $6$ आहे.

मसावि काढण्याची भागाकार पद्धत (उभी मांडणी)

लसावि आणि मसावि काढण्यासाठी आपण सामाईक अवयव पद्धतीचा वापर करू शकतो. खालील तक्त्यामध्ये $24$ आणि $36$ चा मसावि काढण्याची पद्धत दिली आहे.

\begin{array}{c|c} 2 & 24, 36 \\ \hline 2 & 12, 18 \\ \hline 3 & 6, 9 \\ \hline & 2, 3 \end{array}

स्पष्टीकरण:

१. सर्वात आधी सर्वात लहान मूळ संख्येने (उदा. $2$ ) दोन्ही संख्यांना भाग द्या.

२. जोपर्यंत दोन्ही संख्यांना एकाच संख्येने भाग जातो, तोपर्यंत भाग देत राहा.

३. जेव्हा दोन्ही संख्यांना एकाच संख्येने भाग जाणे थांबते (उदा. $2$ आणि $3$ ला कोणत्याही एकाच संख्येने भाग जात नाही), तेव्हा डावीकडील सर्व सामाईक अवयवांचा गुणाकार करा.

मसावि $= 2 \times 2 \times 3 = 12$

२. लसावि (लघुत्तम सामाईक विभाज्य) - संकल्पना

व्याख्या: दिलेल्या दोन किंवा अधिक संख्यांनी पूर्ण भाग जाणारी लहानात लहान संख्या म्हणजे त्या संख्यांचा लसावि होय. सोप्या भाषेत, दिलेल्या सर्व संख्यांच्या पाढ्यात येणारी सर्वात पहिली (लहान) सामाईक संख्या.

उदाहरणाने समजून घेऊया:

$6$ आणि $8$ चा लसावि काढायचा आहे.

$6$ चे विभाज्य (पाढा): $6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 \dots$
$8$ चे विभाज्य (पाढा): $8, 16, 24, 32, 40, 48 \dots$
सामाईक विभाज्य: $24, 48 \dots$
यातील सर्वात लहान विभाज्य: $24$
म्हणून, $6$ आणि $8$ चा लसावि $24$ आहे.

लसावि काढण्याची भागाकार पद्धत (उभी मांडणी)

वर वापरलेल्याच तक्त्याचा वापर करून आपण लसावि काढू शकतो. मसावि काढताना आपण फक्त डावीकडील सामाईक अवयवांचा गुणाकार केला. लसावि काढताना डावीकडील सामाईक अवयव आणि तळाशी उरलेले असामाईक अवयव या सर्वांचा गुणाकार करावा लागतो.

\begin{array}{c|c} 2 & 24, 36 \\ \hline 2 & 12, 18 \\ \hline 3 & 6, 9 \\ \hline & 2, 3 \end{array}

लसावि $= (\text{सामाईक अवयव}) \times (\text{असामाईक अवयव})$
लसावि $= (2 \times 2 \times 3) \times (2 \times 3) = 12 \times 6 = 72$

३. लसावि आणि मसावि यांचे महत्त्वाचे गुणधर्म व नियम

परीक्षेतील बहुतांश प्रश्न थेट लसावि/मसावि काढण्यावर नसून या गुणधर्मांवर आधारित असतात. त्यामुळे हे नियम अत्यंत बारकाईने अभ्यासा.

नियम १: दोन संख्यांचा गुणाकार = लसावि $\times$ मसावि
कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांसाठी, त्या दोन संख्यांचा गुणाकार हा त्यांच्या लसावि आणि मसावि च्या गुणाकाराएवढा असतो.
$\text{पहिली संख्या} \times \text{दुसरी संख्या} = \text{मसावि} \times \text{लसावि}$
नियम २: सहमूळ संख्यांचा नियम
ज्या दोन संख्यांमध्ये $1$ व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक विभाजक नसतो, त्यांना सहमूळ संख्या म्हणतात (उदा. $4$ आणि $9$ ).
- सहमूळ संख्यांचा मसावि नेहमी $1$ असतो.
- सहमूळ संख्यांचा लसावि नेहमी त्यांच्या गुणाकाराएवढा असतो.
नियम ३: क्रमवार नैसर्गिक संख्या
कोणत्याही दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्या नेहमी सहमूळ असतात. (उदा. $15$ आणि $16$ ).
- त्यांचा मसावि $= 1$
- त्यांचा लसावि $= \text{त्या दोन संख्यांचा गुणाकार}$
नियम ४: क्रमवार सम संख्या
कोणत्याही दोन क्रमवार सम संख्यांमध्ये (उदा. $14$ आणि $16$ ) नेहमी $2$ चा फरक असतो आणि त्यांना $2$ ने पूर्ण भाग जातो.
- दोन क्रमवार सम संख्यांचा मसावि नेहमी $2$ असतो.
- लसावि $= (\text{दोन संख्यांचा गुणाकार}) \div 2$
नियम ५: क्रमवार विषम संख्या
कोणत्याही दोन क्रमवार विषम संख्या (उदा. $17$ आणि $19$ ) नेहमी सहमूळ असतात.
- दोन क्रमवार विषम संख्यांचा मसावि नेहमी $1$ असतो.
- लसावि $= \text{त्या दोन संख्यांचा गुणाकार}$
नियम ६: अपूर्णांकांचा लसावि आणि मसावि
अपूर्णांकांचे प्रश्न सोडवण्यासाठी खालील सूत्रांचा वापर करा:
$\text{अपूर्णांकांचा मसावि} = \frac{\text{अंशांचा मसावि}}{\text{छेदांचा लसावि}}$
$\text{अपूर्णांकांचा लसावि} = \frac{\text{अंशांचा लसावि}}{\text{छेदांचा मसावि}}$

४. शॉर्ट ट्रिक्स

वेळ वाचवण्यासाठी परीक्षेमध्ये खालील शॉर्ट ट्रिक्सचा वापर करा:

१. पटीतील संख्यांची ट्रिक: जर दिलेल्या संख्यांपैकी लहान संख्येने मोठ्या संख्येला पूर्ण भाग जात असेल, तर लहान संख्या हा मसावि असतो आणि मोठी संख्या हा लसावि असतो.

उदाहरण: $5$ आणि $20$ . येथे $5$ ने $20$ ला पूर्ण भाग जातो. म्हणून मसावि $= 5$ , लसावि $= 20$ .

२. मसावि हा लसाविचा विभाजक असतो: कोणत्याही संख्यांचा लसावि हा नेहमी त्यांच्या मसाविच्या पटीत असतो. म्हणजेच, लसाविला मसाविने नेहमी नि:शेष भाग जातो. जर पर्यायांमध्ये असा लसावि दिला असेल ज्याला मसाविने भाग जात नाही, तर तो पर्याय चुकीचा असतो.

३. असामाईक अवयवांचा गुणाकार:

\text{असामाईक अवयवांचा गुणाकार} = \frac{\text{लसावि}}{\text{मसावि}}

हा गुणाकार मिळाल्यानंतर, त्याचे असे दोन अवयव पाडा जे एकमेकांशी सहमूळ असतील. त्या अवयवांना मसाविने गुणले की मूळ संख्या मिळतात.

लहान संख्या $= \text{मसावि} \times \text{लहान असामाईक अवयव}$
मोठी संख्या $= \text{मसावि} \times \text{मोठा असामाईक अवयव}$

५. परीक्षेतील प्रश्नांचे प्रकार व सोडवलेली उदाहरणे

स्पर्धा परीक्षांमध्ये विचारले जाणारे महत्त्वाचे प्रकार आणि त्यांचे स्पष्टीकरण खालीलप्रमाणे आहे:

प्रकार १: सूत्रावर आधारित सोपी उदाहरणे

प्रश्न १: दोन संख्यांचा मसावि $15$ आहे आणि लसावि $90$ आहे. जर त्यापैकी एक संख्या $45$ असेल, तर दुसरी संख्या कोणती?

स्पष्टीकरण:

सूत्र: $\text{पहिली संख्या} \times \text{दुसरी संख्या} = \text{मसावि} \times \text{लसावि}$

45 \times \text{दुसरी संख्या} = 15 \times 90

\text{दुसरी संख्या} = \frac{15 \times 90}{45}

\text{दुसरी संख्या} = 30

प्रश्न २: दोन संख्यांचा लसावि हा त्यांच्या मसाविच्या $14$ पट आहे. लसावि आणि मसावि यांची बेरीज $600$ आहे. जर एक संख्या $280$ असेल, तर दुसरी संख्या शोधा.

स्पष्टीकरण:

समजा मसावि $= x$

मग लसावि $= 14x$

उदाहरणातील अटीनुसार: $\text{लसावि} + \text{मसावि} = 600$

14x + x = 600

15x = 600 \Rightarrow x = 40

म्हणून, मसावि $= 40$ आणि लसावि $= 14 \times 40 = 560$

आता सूत्रानुसार:

\text{दुसरी संख्या} = \frac{\text{लसावि} \times \text{मसावि}}{\text{पहिली संख्या}}

\text{दुसरी संख्या} = \frac{560 \times 40}{280} = 2 \times 40 = 80

दुसरी संख्या $80$ असेल.

प्रकार २: दोन क्रमागत सम/विषम संख्यांवर आधारित

प्रश्न ३: दोन लगतच्या सम संख्यांचा लसावि $180$ आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?

स्पष्टीकरण:

आपल्याला माहित आहे की, लगतच्या सम संख्यांचा मसावि नेहमी $2$ असतो.

सूत्र: $\text{दोन संख्यांचा गुणाकार} = \text{लसावि} \times \text{मसावि}$

\text{गुणाकार} = 180 \times 2 = 360

आता अशा दोन क्रमवार सम संख्या शोधा ज्यांचा गुणाकार $360$ आहे. $360$ च्या जवळची पूर्ण वर्ग संख्या $400$ ( $20$ चा वर्ग) आहे किंवा $324$ ( $18$ चा वर्ग) आहे.

$18 \times 20 = 360$ .

म्हणून त्या संख्या $18$ आणि $20$ आहेत.

प्रश्न ४: दोन लगतच्या विषम संख्यांचा लसावि $323$ आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?

स्पष्टीकरण:

लगतच्या विषम संख्यांचा मसावि $1$ असतो.

म्हणून त्यांचा गुणाकार त्यांच्या लसाविइतकाच असतो (म्हणजेच $323$ ).

$323$ ही संख्या कोणत्या दोन लगतच्या विषम संख्यांचा गुणाकार असू शकते?

$323$ च्या जवळचा वर्ग $324$ ( $18$ चा वर्ग) आहे.

त्यामुळे $18$ च्या आधीची विषम संख्या $17$ आणि नंतरची विषम संख्या $19$ यांचा हा गुणाकार असणार.

$17 \times 19 = 323$ .

त्या संख्या $17$ आणि $19$ आहेत.

प्रकार ३: लसावि आणि मसाविचे गुणोत्तर व पटीतील उदाहरणे

प्रश्न ५: तीन दोन अंकी संख्यांचा मसावि $6$ आहे आणि त्यांचा लसावि $432$ आहे. तर त्या संख्या कोणत्या असू शकतात?

स्पष्टीकरण:

संख्या मसाविच्या पटीत असतात. समजा त्या संख्या $6a, 6b, 6c$ आहेत.

येथे $a, b, c$ हे सहमूळ असामाईक अवयव आहेत.

लसावि $= 6 \times a \times b \times c = 432$

a \times b \times c = \frac{432}{6} = 72

आता $72$ चे असे तीन अवयव पाडा जे एकमेकांशी सहमूळ असतील आणि त्यांना $6$ ने गुणल्यावर दोन अंकी संख्या मिळतील.

जर आपण $a=3, b=4, c=6$ घेतले, तर $3 \times 4 \times 6 = 72$ . परंतु $4$ आणि $6$ सहमूळ नाहीत (दोघांना $2$ ने भाग जातो).

आपण $8, 9, 1$ घेऊ शकतो. परंतु एका संख्येला $1$ ने गुणल्यास $6 \times 1 = 6$ मिळेल, जी एक अंकी संख्या आहे (आपल्याला दोन अंकी हवी आहे).

या प्रकारच्या प्रश्नांमध्ये पर्यायांचा वापर करणे सर्वाधिक सोपे जाते. जर पर्याय दिले असतील: (A) $12, 18, 24$ (B) $18, 24, 30$ इ. तेव्हा पर्यायांचा मसावि आणि लसावि तपासून पाहणे फायदेशीर ठरते.

प्रकार ४: बाकी उरणारी उदाहरणे (Remainder Problems)

हा प्रकार स्पर्धा परीक्षांचा अत्यंत आवडता प्रकार आहे. यामध्ये तीन उपप्रकार पडतात.

उपप्रकार A: लसावि काढताना प्रत्येक वेळी समान बाकी उरणे.

प्रश्न ६: अशी लहानात लहान संख्या शोधा जिला $12, 15$ आणि $20$ ने भागल्यास प्रत्येक वेळी $4$ बाकी उरते.

स्पष्टीकरण:

येथे "लहानात लहान संख्या" विचारले आहे, म्हणून आपल्याला लसावि काढावा लागेल.

१. प्रथम $12, 15, 20$ चा लसावि काढा.

\begin{array}{c|c} 2 & 12, 15, 20 \\ \hline 2 & 6, 15, 10 \\ \hline 3 & 3, 15, 5 \\ \hline 5 & 1, 5, 5 \\ \hline & 1, 1, 1 \end{array}

लसावि $= 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$ .

२. $60$ ही अशी संख्या आहे जिला पूर्ण भाग जातो. आपल्याला प्रत्येक वेळी $4$ बाकी हवी आहे.

३. म्हणून मिळवलेली संख्या $= \text{लसावि} + \text{बाकी}$

\text{उत्तर} = 60 + 4 = 64

उपप्रकार B: लसावि काढताना प्रत्येक वेळी वेगवेगळी बाकी उरणे.

प्रश्न ७: अशी लहानात लहान संख्या सांगा जिला $20, 25$ आणि $30$ ने भागल्यास अनुक्रमे $14, 19$ आणि $24$ बाकी उरते.

स्पष्टीकरण:

१. भाजक आणि बाकी यातील फरक तपासा:

$20 - 14 = 6$

$25 - 19 = 6$

$30 - 24 = 6$

प्रत्येक वेळी फरक समान ( $6$ ) आहे.

२. आता भाजकांचा ( $20, 25, 30$ ) लसावि काढा.

$20, 25, 30$ चा लसावि $= 300$

३. अपेक्षित संख्या $= \text{लसावि} - \text{समान फरक}$

\text{उत्तर} = 300 - 6 = 294

उपप्रकार C: मसावि काढताना बाकी उरणे.

प्रश्न ८: अशी मोठ्यात मोठी संख्या शोधा जिने $411, 684$ आणि $821$ ला भागल्यास अनुक्रमे $3, 4$ आणि $5$ बाकी उरते.

स्पष्टीकरण:

येथे "मोठ्यात मोठी संख्या" विचारली आहे, याचा अर्थ मसावि काढायचा आहे. परंतु मसावि काढण्यापूर्वी बाकी वजा करणे आवश्यक आहे.

१. संख्यांमधून त्यांची बाकी वजा करा:

$411 - 3 = 408$

$684 - 4 = 680$

$821 - 5 = 816$

२. आता मिळालेल्या नवीन संख्यांचा ( $408, 680, 816$ ) मसावि काढा.

या संख्यांना भाग जाणारी मोठी संख्या शोधूया.

सर्व संख्यांना $8$ ने भाग जातो:

$408 \div 8 = 51$

$680 \div 8 = 85$

$816 \div 8 = 102$

आता $51, 85, 102$ या सर्व संख्या $17$ च्या पाढ्यात आहेत.

$51 \div 17 = 3$ , $85 \div 17 = 5$ , $102 \div 17 = 6$ .

$3, 5, 6$ मध्ये कोणताही सामाईक अवयव नाही.

म्हणून मसावि $= 8 \times 17 = 136$ .

ती मोठ्यात मोठी संख्या $136$ आहे.

६. उपयोजन उदाहरणे (Application Word Problems)

दैनंदिन जीवनातील काही घटना लसावि आणि मसावि वर आधारित असतात. प्रश्नातील शब्दरचनेवरून काय काढायचे आहे हे ओळखावे लागते.

उपयोजन १: वेगवेगळ्या वेळेनंतर घडणाऱ्या घटना पुन्हा एकत्र कधी घडतील? (लसावि)

या प्रकारात घंटा वाजणे (Bells ringing), ट्रॅफिक सिग्नलचे दिवे बदलणे, वर्तुळाकार मैदानावर धावणे यांसारखे प्रश्न येतात. "एकत्र कधी घडतील" म्हणजे सर्व संख्यांचा सामाईक विभाज्य शोधणे, म्हणजेच लसावि काढणे.

प्रश्न ९: तीन घंटा अनुक्रमे $12, 15$ आणि $18$ मिनिटांच्या अंतराने वाजतात. जर त्या सकाळी $8:00$ वाजता एकाच वेळी वाजल्या असतील, तर पुन्हा किती वाजता त्या एकाच वेळी वाजतील?

स्पष्टीकरण:

१. $12, 15$ आणि $18$ चा लसावि काढा.

\begin{array}{c|c} 2 & 12, 15, 18 \\ \hline 3 & 6, 15, 9 \\ \hline & 2, 5, 3 \end{array}

लसावि $= 2 \times 3 \times 2 \times 5 \times 3 = 180$ .

२. याचा अर्थ दर $180$ मिनिटांनी त्या एकत्र वाजतील.

३. मिनिटांचे तासात रूपांतर करा: $180 \text{ मिनिटे} = \frac{180}{60} \text{ तास} = 3 \text{ तास}$ .

४. त्या सकाळी $8:00$ वाजता वाजल्या होत्या. $8:00 + 3 \text{ तास} = 11:00$ वाजता.

उत्तर: सकाळी $11:00$ वाजता.

उपयोजन २: समान मापाचे तुकडे करणे / जास्तीत जास्त क्षमता मोजणे (मसावि)

जेव्हा "मोठ्यात मोठे समान तुकडे", "जास्तीत जास्त क्षमतेचे भांडे", "समान गटात वाटणी" असे शब्द येतात, तेव्हा दिलेले माप विभाजित करायचे असते. यासाठी मसावि काढावा लागतो.

प्रश्न १०: तीन वेगवेगळ्या ड्रममध्ये $36$ लिटर, $45$ लिटर आणि $72$ लिटर दूध आहे. हे दूध मोजण्यासाठी जास्तीत जास्त किती क्षमतेचे समान मापाचे भांडे वापरावे लागेल?

स्पष्टीकरण:

येथे "जास्तीत जास्त क्षमतेचे" भांडे विचारले आहे. याचा अर्थ आपल्याला मसावि काढायचा आहे.

$36, 45, 72$ यांचा मसावि शोधू.

सर्व संख्यांना $9$ ने पूर्ण भाग जातो.

$36 \div 9 = 4$

$45 \div 9 = 5$

$72 \div 9 = 8$

$4, 5, 8$ मध्ये कोणता सामाईक अवयव नाही.

म्हणून मसावि $= 9$ .

उत्तर: $9$ लिटर क्षमतेचे भांडे वापरावे लागेल.

उपयोजन ३: कमीत कमी संख्या शोधणे (लसावि आणि मसावि चा एकत्रित वापर)

कधीकधी क्षेत्रफळ देऊन त्यात कमीत कमी किती चौरसाकृती फरशा (Tiles) बसवता येतील असे विचारले जाते.

प्रश्न ११: एका खोलीची लांबी $15$ मीटर $17$ सेमी आणि रुंदी $9$ मीटर $2$ सेमी आहे. या खोलीच्या जमिनीवर बसवण्यासाठी कमीत कमी किती चौरसाकृती फरशा लागतील?

स्पष्टीकरण:

१. प्रथम परिमाणे समान करा:

लांबी $= 1517$ सेमी

रुंदी $= 902$ सेमी

२. कमीत कमी फरशा बसवण्यासाठी फरशीचा आकार जास्तीत जास्त मोठा असायला हवा. म्हणजेच $1517$ आणि $902$ चा मसावि काढावा लागेल.

$1517$ आणि $902$ चा मसावि काढण्यासाठी भागाकार पद्धत:

\begin{array}{r r r r r r} 902 ) & 1517 & ( 1 & & & \\ & -902 & & & & \\ \hline & 615 ) & 902 & ( 1 & & \\ & & -615 & & & \\ \hline & & 287 ) & 615 & ( 2 & \\ & & & -574 & & \\ \hline & & & 41 ) & 287 & ( 7 \\ & & & & -287 & \\ \hline & & & & 0 & \end{array}

मसावि $= 41$ .

म्हणजेच प्रत्येक चौरसाकृती फरशीची बाजू $41$ सेमी असेल.

३. आता फरशांची संख्या काढा:

\text{फरशांची संख्या} = \frac{\text{खोलीचे क्षेत्रफळ}}{\text{एका फरशीचे क्षेत्रफळ}}

\text{फरशांची संख्या} = \frac{1517 \times 902}{41 \times 41}

$1517 \div 41 = 37$ आणि $902 \div 41 = 22$ .

\text{फरशांची संख्या} = 37 \times 22 = 814

उत्तर: कमीत कमी $814$ फरशा लागतील.

सारांश व शेवटची टीप

जेव्हा "लहानात लहान", "एकत्रित कधी", "कमीत कमी वेळ" असे विचारले जाते तेव्हा लसावि काढावा.
जेव्हा "मोठ्यात मोठा", "समान मापाचे तुकडे", "जास्तीत जास्त क्षमता" असे विचारले जाते तेव्हा मसावि काढावा.
सूत्र पाठ करण्यापेक्षा संख्यांशी खेळायला शिका. पर्यायांचा (Options) कल्पकतेने वापर केल्यास लसावि-मसाविचे अनेक प्रश्न सेकंदात सुटतात.