स्पर्धा परीक्षांमध्ये गणिताचा पाया पक्का असणे अत्यंत आवश्यक असते. गणितातील कोणत्याही क्लिष्ट समस्येचे उत्तर अचूक काढण्यासाठी मूलभूत क्रियांचे (Fundamental Operations) नियम आणि पदावली (Expressions) सोडवण्याचा क्रम अचूक माहिती असणे गरजेचे आहे. या लेखात आपण बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार यांचे नियम आणि पदावली सोडवण्याचा कंचेभागुबेव (BODMAS) नियम सविस्तर पाहणार आहोत.
१. बेरीज व वजाबाकीचे नियम (Rules of Addition and Subtraction)
गणितामध्ये संख्यांची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना चिन्हांचे नियम (Sign Rules) अत्यंत महत्त्वाचे असतात.
नियम १: समान चिन्हे असल्यास (Same Signs)
जर दोन संख्यांना समान चिन्हे असतील, तर त्या संख्यांची बेरीज करावी आणि येणाऱ्या उत्तराला तेच समान चिन्ह द्यावे.
उदाहरणे:
$(+५) + (+३) = +८$ (किंवा नुसते $८$)
$(-७) - ४ = -११$ (येथे दोन्ही संख्या ऋण आहेत, म्हणून बेरीज करून ऋण चिन्ह दिले)
नियम २: विरुद्ध चिन्हे असल्यास (Different Signs)
जर दोन संख्यांना विरुद्ध चिन्हे असतील (एक धन आणि एक ऋण), तर मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा करावी आणि येणाऱ्या उत्तराला मोठ्या संख्येचे चिन्ह द्यावे.
उदाहरणे:
$(-९) + ५ = -४$ (९ मधून ५ वजा केले, मोठ्या संख्येचे ऋण चिन्ह दिले)
$१२ - १८ = -६$
$(-१५) + २५ = +१०$
२. गुणाकार व भागाकाराचे नियम (Rules of Multiplication and Division)
गुणाकार आणि भागाकाराचे चिन्हांचे नियम बेरीज-वजाबाकीपेक्षा वेगळे आणि सोपे आहेत.
नियम १: समान चिन्हांचा गुणाकार/भागाकार नेहमी धन (Positive) असतो.
$(+) \times (+) = (+)$
$(-) \times (-) = (+)$
उदाहरणे (गुणाकार):
$८ \times ५ = ४०$
$(-६) \times (-४) = +२४$
उदाहरणे (भागाकार):
$३६ \div ४ = ९$
$(-४०) \div (-८) = +५$
नियम २: विरुद्ध चिन्हांचा गुणाकार/भागाकार नेहमी ऋण (Negative) असतो.
$(+) \times (-) = (-)$
$(-) \times (+) = (-)$
उदाहरणे (गुणाकार):
$(-७) \times ८ = -५६$
$९ \times (-३) = -२७$
उदाहरणे (भागाकार):
$(-५०) \div १० = -५$
$६४ \div (-१६) = -४$
३. भागाकाराची संकल्पना व सूत्र (Concept of Division)
भागाकार करताना चार मुख्य घटक असतात: भाज्य (Dividend), भाजक (Divisor), भागाकार (Quotient) आणि बाकी (Remainder).
सूत्र (Formula):
$$\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागाकार}) + \text{बाकी}$$
भागाकाराची मांडणी (Long Division Method):
समजा, १७६ ला ३ ने भागायचे आहे. त्याची मांडणी खालीलप्रमाणे केली जाते:
वरील उदाहरणात:
भाजक (Divisor) = $३$
भाज्य (Dividend) = $१७६$
भागाकार (Quotient) = $५८$
बाकी (Remainder) = $२$
पडताळा: $(३ \times ५८) + २ = १७४ + २ = १७६$
४. स्पर्धा परीक्षेतील विशेष उदाहरणे व शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks for Exams)
स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळेची बचत करण्यासाठी गुणाकार आणि भागाकारावर आधारित काही विशिष्ट प्रकारची उदाहरणे ट्रिक्सच्या साहाय्याने सोडवावी लागतात.
प्रकार १: चुकीच्या गुणकाची उदाहरणे (Wrong Multiplier Problems)
प्रश्न: एका विद्यार्थ्याला एका संख्येला $१४$ ने गुणण्यास सांगितले, पण त्याने चुकून $४१$ ने गुणले. त्यामुळे त्याचे उत्तर मूळ उत्तरापेक्षा $२९७$ ने जास्त आले. तर ती संख्या कोणती?
शॉर्ट ट्रिक (Short Trick):
$$\text{संख्या} = \frac{\text{गुणाकारातील फरक}}{\text{चुकीचा गुणक} - \text{बरोबर गुणक}}$$स्पष्टीकरण:
गुणाकारातील फरक = $२९७$
गुणकांमधील फरक = $४१ - १४ = २७$
संख्या = $\frac{२९७}{२७} = ११$
उत्तर: ती संख्या $११$ आहे.
उदाहरण २: एका संख्येला $७२$ ने गुणण्याऐवजी $२७$ ने गुणले, तर गुणाकार $४०५$ ने कमी झाला. तर ती संख्या कोणती?
ट्रिकचा वापर: $\frac{४०५}{७२ - २७} = \frac{४०५}{४५} = ९$
उत्तर: ती संख्या $९$ आहे.
प्रकार २: दोन क्रमागत सम/विषम संख्यांचा गुणाकार (Product of Consecutive Even/Odd Numbers)
प्रश्न: दोन क्रमागत सम संख्यांचा गुणाकार $२८८$ आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?
शॉर्ट ट्रिक (Short Trick):
दिलेल्या गुणाकारात $१$ मिळवा.
आलेल्या संख्येचे वर्गमूळ (Square Root) काढा. ती संख्या त्या दोन सम/विषम संख्यांच्या मधली संख्या असते.
स्पष्टीकरण:
गुणाकार = $२८८$
$२८८ + १ = २८९$
$\sqrt{२८९} = १७$ (ही मधली विषम संख्या आहे)
म्हणून त्या दोन क्रमागत सम संख्या $१७$ च्या मागची आणि पुढची संख्या असतील. म्हणजेच $१६$ आणि $१८$.
पडताळा: $१६ \times १८ = २८८$
उदाहरण २: दोन क्रमागत विषम संख्यांचा गुणाकार $३९९$ आहे, तर त्यापैकी मोठी संख्या कोणती?
ट्रिक: $\sqrt{३९९ + १} = \sqrt{४००} = २०$ (मधली सम संख्या)
विषम संख्या = $१९$ आणि $२१$.
उत्तर: मोठी विषम संख्या $२१$ आहे.
प्रकार ३: भागाकारावरील बाकीचे नियम (Division Remainder Tricks)
प्रश्न: एका संख्येला $११९$ ने भागल्यास बाकी $१९$ उरते. जर त्याच संख्येला $१७$ ने भागले तर बाकी किती उरेल?
शॉर्ट ट्रिक (Short Trick):
अशा प्रश्नांमध्ये दुसरा भाजक (येथे $१७$) हा नेहमी पहिल्या भाजकाच्या (येथे $११९$) पटीत असतो. (उदा. $१७ \times ७ = ११९$)
म्हणून थेट पहिल्या बाकीला दुसऱ्या भाजकाने भाग द्यावा.
सूत्र: $\text{नवीन बाकी} = \text{पहिल्या बाकीला दुसऱ्या भाजकाने भागून येणारी बाकी}$
स्पष्टीकरण:
पहिली बाकी = $१९$
दुसरा भाजक = $१७$
$१९ \div १७$ केल्यास, $१७ \times १ = १७$ आणि बाकी उरते $२$.
उत्तर: नवीन बाकी $२$ उरेल.
५. पदावली आणि कंचेभागुबेव नियम (BODMAS Rule)
गणितात एकाच उदाहरणात बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि कंस एकाच वेळी येतात, तेव्हा ते कोणत्या क्रमाने सोडवावे यासाठी BODMAS (कंचेभागुबेव) नियम वापरला जातो.
कंचेभागुबेव (BODMAS) चा अर्थ:
B = Brackets (कंस - कंसातील क्रिया आधी सोडवा)
कंसाचा क्रम: साध्या रेघी कंस (Bar), लहान कंस $()$, महिरपी कंस $\{\}$, मोठा/चौकोनी कंस $[]$.
O = Of / Orders (चे / चा / ची किंवा घातांक / वर्गमूळ)
D = Division (भागाकार - $\div$)
M = Multiplication (गुणाकार - $\times$)
A = Addition (बेरीज - $+$)
S = Subtraction (वजाबाकी - $-$)
महत्त्वाची टीप: भागाकार आणि गुणाकार यापैकी जे डावीकडून आधी येईल ते आधी सोडवावे. त्याचप्रमाणे बेरीज आणि वजाबाकीमध्ये जे डावीकडून आधी येईल ते आधी सोडवावे.
६. पदावलीची स्पष्टीकरणासह सोडवलेली उदाहरणे (Solved Examples on Expressions)
उदाहरण १: साधी पदावली
स्पष्टीकरण (BODMAS नुसार):
पायरी १ (भागाकार): $४० \div ८ = ५$
नवीन समीकरण: $५ \times ५ + ३ - २$
पायरी २ (गुणाकार): $५ \times ५ = २५$
नवीन समीकरण: $२५ + ३ - २$
पायरी ३ (बेरीज): $२५ + ३ = २८$
नवीन समीकरण: $२८ - २$
पायरी ४ (वजाबाकी): $२८ - २ = २६$
उत्तर: $२६$
उदाहरण २: कंसाचा वापर असलेली पदावली
स्पष्टीकरण:
पायरी १ (लहान कंस सोडवणे): $५ \times ३ - ९$
यात आधी गुणाकार: $१५ - ९ = ६$
समीकरण: $१५ + [ १२ - \{ ४ + ६ \} ]$
पायरी २ (महिरपी कंस सोडवणे): $४ + ६ = १०$
समीकरण: $१५ + [ १२ - १० ]$
पायरी ३ (मोठा कंस सोडवणे): $१२ - १० = २$
समीकरण: $१५ + २$
पायरी ४ (शेवटची बेरीज): $१५ + २ = १७$
उत्तर: $१७$
उदाहरण ३: 'चे' (Of) चा वापर
स्पष्टीकरण:
पायरी १ ('चे' सोडवणे): 'चे' म्हणजे गुणाकार, पण तो भागाकाराच्या आधी सोडवावा लागतो.
$५ \text{ चे } २ = ५ \times २ = १०$
समीकरण: $५० \div १० + ४ \times ३$
पायरी २ (भागाकार): $५० \div १० = ५$
समीकरण: $५ + ४ \times ३$
पायरी ३ (गुणाकार): $४ \times ३ = १२$
समीकरण: $५ + १२$
पायरी ४ (बेरीज): $५ + १२ = १७$
उत्तर: $१७$
७. स्पर्धा परीक्षांसाठी अधिक शॉर्ट ट्रिक्स (More Short Tricks)
शून्य (0) चे नियम:
कोणत्याही संख्येला $०$ ने गुणल्यास गुणाकार $०$ येतो. ($a \times ० = ०$)
कोणत्याही संख्येत $०$ मिळवला किंवा वजा केला तर तीच संख्या राहते. ($a \pm ० = a$)
शून्य ($०$) ला कोणत्याही संख्येने भागल्यास भागाकार $०$ येतो. ($० \div a = ०$)
महत्त्वाचे: कोणत्याही संख्येला $०$ ने भागता येत नाही (Infinity/Not Defined). ($a \div ० = \infty$)
एक (1) चे नियम:
कोणत्याही संख्येला $१$ ने गुणल्यास किंवा भागल्यास तीच संख्या मिळते.
चिन्हांचा गोंधळ टाळण्याची ट्रिक:
पदावली सोडवताना ऋण चिन्हांचा ($-$) गुणाकार सम (Even) वेळा आला तर उत्तर धन (Positive) येते. (उदा. $(-२) \times (-३) \times (-१) \times (-२) = +१२$)
ऋण चिन्हांचा गुणाकार विषम (Odd) वेळा आला तर उत्तर ऋण (Negative) येते. (उदा. $(-२) \times (-३) \times (-२) = -१२$)
८. चिन्हांची योग्य मांडणी करणे (Inserting the Correct Mathematical Signs)
स्पर्धा परीक्षांमध्ये पदावलीवर विचारला जाणारा आणखी एक महत्त्वाचा प्रकार म्हणजे 'चिन्हांची योग्य मांडणी करणे'. या प्रकारच्या प्रश्नांमध्ये एका समीकरणात काही रिकाम्या जागा किंवा विशिष्ट चिन्हे (उदा. *, #, $) दिलेली असतात आणि उत्तराच्या पर्यायांमध्ये गणितीय चिन्हांचे ( $+$, $-$, $\times$, $\div$ ) क्रम दिलेले असतात.
सोडवण्याची पद्धत (Method to Solve): * अशा प्रश्नांमध्ये पर्यायातील चिन्हांचा क्रम दिलेल्या समीकरणात ठेवून कंचेभागुबेव (BODMAS) नियमानुसार ते समीकरण सोडवावे लागते.
ज्या पर्यायातील चिन्हे वापरल्यास समीकरणाची डावी बाजू आणि उजवी बाजू समान (LHS = RHS) येते, तो पर्याय अचूक असतो.
शॉर्ट ट्रिक (Short Trick): सर्वात आधी पर्यायातील भागाकाराचे ($\div$) चिन्ह तपासा. ज्या ठिकाणी भागाकाराचे चिन्ह ठेवायचे आहे, तिथे पूर्ण भाग जातो का ते पहा. जर पूर्ण भाग जात नसेल (आणि पुढे गुणाकारही नसेल), तर तो पर्याय सहसा चुकीचा असतो. यामुळे पर्याय लवकर बाद (Eliminate) करता येतात.
उदाहरण ४: चिन्हांचा योग्य क्रम ओळखणे
प्रश्न: खालील समीकरणात रिकाम्या जागी क्रमाने कोणती चिन्हे वापरल्यास समीकरण अचूक ठरेल?
$२४ \dots ४ \dots ५ \dots ४ = २६$
पर्याय:
१) $\times$, $\div$, $+$
२) $\div$, $\times$, $+$
३) $+$, $-$, $\times$
४) $\div$, $+$, $\times$
स्पष्टीकरण:
आपण पर्याय २ आणि पर्याय ४ तपासून पाहूया, कारण त्यामध्ये सुरुवातीला भागाकाराचे चिन्ह आहे आणि २४ ला ४ ने पूर्ण भाग जातो.
पर्याय २ तपासून पाहू ($\div$, $\times$, $+$):
समीकरण: $२४ \div ४ \times ५ + ४$
BODMAS नुसार:
भागाकार: $२४ \div ४ = ६$
गुणाकार: $६ \times ५ = ३०$
बेरीज: $३० + ४ = ३४$
येथे उत्तर ३४ येते, पण आपल्याला २६ हवे आहे. त्यामुळे हा पर्याय चुकीचा आहे.
पर्याय ४ तपासून पाहू ($\div$, $+$, $\times$):
समीकरण: $२४ \div ४ + ५ \times ४$
BODMAS नुसार:
भागाकार: $२४ \div ४ = ६$
गुणाकार: $५ \times ४ = २०$
बेरीज: $६ + २० = २६$
येथे उत्तर २६ आले जे समीकरणाच्या उजव्या बाजूसोबत जुळते.
उत्तर: पर्याय ४ ($\div$, $+$, $\times$) बरोबर आहे.
निष्कर्ष
मूलभूत क्रिया आणि कंचेभागुबेव (BODMAS) हा गणिताचा आत्मा आहे. वरील सर्व नियम, चिन्हांचे बदल आणि शॉर्ट ट्रिक्सचा नियमित सराव केल्यास स्पर्धा परीक्षेत गणिताचा विभाग अत्यंत कमी वेळेत आणि अचूक सोडवता येतो.
मूलभूत क्रिया व पदावली
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
