घातांक

 

घातांक म्हणजे काय? (Definition of Indices)

एखाद्या संख्येचा स्वतःशीच किती वेळा गुणाकार केला आहे, हे दर्शवणारी पद्धत म्हणजेच घातांक होय.

जर $a$ ही कोणतीही वास्तव संख्या (Real Number) असेल आणि $m$ ही धन पूर्णांक संख्या (Positive Integer) असेल, तर:

$$a \times a \times a \times \dots \text{(m वेळा)} = a^m$$

येथे:

• $a$ या संख्येला पाया (Base) म्हणतात.

• $m$ या संख्येला घातांक (Index / Exponent / Power) म्हणतात.

• $a^m$ चे वाचन "$a$ चा $m$ वा घात" असे केले जाते.

उदाहरणार्थ:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

येथे $2$ हा पाया आहे आणि $4$ हा घातांक आहे. याचा अर्थ २ चा स्वतःशी ४ वेळा गुणाकार केला आहे. $2^4$ ची किंमत $16$ आहे.

---

घातांकाचे महत्त्वाचे नियम व स्पष्टीकरण (Rules of Indices)

घातांकावरील उदाहरणे सोडवण्यासाठी खालील नियम तोंडपाठ असणे अत्यंत आवश्यक आहे.

१. गुणाकाराचा नियम (Product Rule):

जर पाया समान असेल आणि त्यांच्यामध्ये गुणाकाराची क्रिया असेल, तर घातांकांची बेरीज होते.

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

उदाहरण: $5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

२. भागाकाराचा नियम (Quotient Rule):

जर पाया समान असेल आणि त्यांच्यामध्ये भागाकाराची क्रिया असेल, तर घातांकांची वजाबाकी होते.

$$a^m \div a^n = a^{m-n} \quad (\text{जर } m > n)$$

उदाहरण: $7^8 \div 7^5 = 7^{8-5} = 7^3$

३. घाताचा घात नियम (Power of a Power Rule):

एखाद्या घातांकित संख्येचा पुन्हा घात दिला असेल, तर त्या दोन्ही घातांकांचा गुणाकार होतो.

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

उदाहरण: $(3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8$

(टीप: $(a^m)^n$ आणि $a^{m^n}$ या दोन्ही वेगवेगळ्या संकल्पना आहेत. उदा. $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$, परंतु $2^{3^2} = 2^9$ कारण $3^2 = 9$)

४. गुणाकाराचा घात (Power of a Product):

दोन किंवा अधिक संख्यांच्या गुणाकाराचा सामायिक घात असेल, तर तो घात कंसातील प्रत्येक संख्येला स्वतंत्रपणे लागू होतो.

$$(a \times b)^m = a^m \times b^m$$

उदाहरण: $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$

५. भागाकाराचा घात (Power of a Fraction):

अपूर्णांकाचा (भागाकाराचा) सामायिक घात असेल, तर तो अंश आणि छेद दोघांनाही स्वतंत्रपणे लागू होतो.

$$\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \quad (b \neq 0)$$

उदाहरण: $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

६. शून्य घातांकाचा नियम (Zero Exponent Rule):

कोणत्याही शून्यतर (Non-zero) संख्येचा घातांक जर शून्य ($0$) असेल, तर तिची किंमत नेहमी $1$ असते.

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

उदाहरण: $100^0 = 1$, $x^0 = 1$, $5432^0 = 1$

७. ऋण घातांकाचा नियम (Negative Exponent Rule):

एखाद्या संख्येचा घातांक ऋण असेल, तर ती संख्या छेदात नेल्यास तिचा घातांक धन होतो आणि उलटपक्षी छेदातील ऋण घातांक अंशात नेल्यास धन होतो.

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m} \quad \text{किंवा} \quad \frac{1}{a^{-m}} = a^m$$

उदाहरण: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

जर अपूर्णांकाचा घात ऋण असेल, तर अपूर्णांकाचा व्यस्त (Reciprocal) केल्यास घातांक धन होतो:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m$$

उदाहरण: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

८. अपूर्णांक घातांक (Fractional Exponent Rule):

जेव्हा घातांक अपूर्णांक असतो, तेव्हा तो संख्येचे मूळ (Root) दर्शवतो.

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

उदाहरण: $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = (2)^2 = 4$

---

१० च्या पटीतील, दशांश व इतर संख्या घातांकाच्या स्वरूपात लिहिणे

विज्ञानात आणि गणितात खूप मोठ्या किंवा लहान संख्या वाचणे कठीण जाते. म्हणून त्यांना प्रमाणित रूपात (Standard Form / Scientific Notation) $10$ च्या घातांकात लिहिले जाते.

१. मोठ्या संख्या (Positive Powers of 10):

जेव्हा दशांश चिन्ह डावीकडे सरकवले जाते, तेव्हा $10$ चा घातांक धन (Positive) असतो. जेवढी घरे दशांश चिन्ह डावीकडे सरकते, तेवढा घातांक वाढतो.

• $1000 = 10^3$

• $45000 = 4.5 \times 10^4$ (दशांश चिन्ह ४ घरे डावीकडे सरकवले)

• $156000000 = 1.56 \times 10^8$

२. लहान दशांश संख्या (Negative Powers of 10):

जेव्हा दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकवले जाते, तेव्हा $10$ चा घातांक ऋण (Negative) असतो. जेवढी घरे दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकते, तेवढा ऋण घातांक वाढतो.

• $0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

• $0.001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$

• $0.000054 = 5.4 \times 10^{-5}$ (दशांश चिन्ह ५ घरे उजवीकडे सरकवले)

दशांश चिन्ह सरकवण्याची ट्रिक:

• LARS (Left Add, Right Subtract): जर तुम्ही दशांश चिन्ह डावीकडे (Left) सरकवत असाल, तर घातांकात मिळवा (Add). जर उजवीकडे (Right) सरकवत असाल, तर वजा करा (Subtract).

• उदा. $456.78 \times 10^5$. जर मला हे $4.5678$ असे लिहायचे असेल, तर मी दशांश चिन्ह २ घरे डावीकडे सरकवले. त्यामुळे घातांकात २ मिळवावे लागतील. उत्तर: $4.5678 \times 10^{5+2} = 4.5678 \times 10^7$.

---

स्पर्धा परीक्षेत विचारले जाणारे प्रश्न प्रकार (Exam Question Types)

TET आणि Scholarship परीक्षांमध्ये साधारणपणे खालील प्रकारचे प्रश्न विचारले जातात:

प्रकार १: घातांकाच्या नियमांवर आधारित सरळ रूप देणे (Simplification)

प्रश्न: $(2^3 \times 2^5) \div 2^6$ ची किंमत काढा.

स्पष्टीकरण:

अंशामध्ये गुणाकाराचा नियम: $2^{3+5} = 2^8$

आता भागाकाराचा नियम: $2^8 \div 2^6 = 2^{8-6} = 2^2$

$$2^2 = 4$$

प्रकार २: अज्ञाताची ($x$ ची) किंमत काढणे (Finding the Unknown)

जर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा पाया समान असेल, तर त्यांचे घातांकही समान असतात.

$$\text{जर } a^x = a^y \text{ असेल, तर } x = y \quad (a > 0, a \neq 1)$$

प्रश्न: जर $3^{x-2} = 81$ असेल, तर $x = ?$

स्पष्टीकरण:

प्रथम उजव्या बाजूच्या $81$ ला $3$ च्या घातांकात लिहा.

$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$

समीकरण: $3^{x-2} = 3^4$

दोन्ही बाजूंचा पाया ($3$) समान आहे, म्हणून घातांक समान करून घेऊ:

$x - 2 = 4$

$x = 4 + 2$

$x = 6$

प्रकार ३: घातांकित संख्यांचा लहान-मोठेपणा ठरवणे (Comparing Exponents)

प्रश्न: $2^{30}$ आणि $3^{20}$ पैकी मोठी संख्या कोणती?

स्पष्टीकरण:

अशा प्रश्नांमध्ये एकतर पाया समान करावा लागतो किंवा घातांक. येथे पाया समान होऊ शकत नाही, म्हणून घातांक समान करू.

$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$

$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$

आता दोन्ही संख्यांचे घातांक ($10$) समान आहेत. ज्याचा पाया मोठा ती संख्या मोठी. $9 > 8$, त्यामुळे $9^{10} > 8^{10}$.

म्हणून, $3^{20}$ ही मोठी संख्या आहे.

---

शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks & Shortcuts)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळ अत्यंत महत्त्वाचा असतो. काही सेकंदात उत्तरे काढण्यासाठी या ट्रिक्स खूप उपयुक्त ठरतात.

१. एकक स्थानचा अंक शोधणे (Finding Unit Digit - Cyclicity Method):

कोणत्याही मोठ्या घातांकित संख्येच्या एकक स्थानी कोणता अंक येईल, हे शोधण्यासाठी चक्रीयता (Cyclicity) पद्धतीचा वापर होतो.

• नियम १ ($0, 1, 5, 6$ साठी): जर संख्येच्या एकक स्थानी $0, 1, 5$ किंवा $6$ असेल, तर तिचा घातांक कितीही मोठा असला तरी उत्तराच्या एकक स्थानी तोच अंक राहतो.

  • उदा. $(125)^{345}$ च्या एकक स्थानी $5$ येईल.

  • $(416)^{999}$ च्या एकक स्थानी $6$ येईल.

• नियम २ ($4$ आणि $9$ साठी - सम/विषम ट्रिक):

  • $4$ चा नियम: जर घातांक विषम (Odd) असेल, तर एकक स्थानी $4$ येतो. घातांक सम (Even) असेल, तर $6$ येतो.

    (ट्रिक: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$)

    उदा. $(34)^{101}$ (विषम घात) $\rightarrow$ एकक स्थानी $4$.

  • $9$ चा नियम: जर घातांक विषम (Odd) असेल, तर एकक स्थानी $9$ येतो. घातांक सम (Even) असेल, तर $1$ येतो.

    (ट्रिक: $9^1 = 9$, $9^2 = 81$)

    उदा. $(89)^{40}$ (सम घात) $\rightarrow$ एकक स्थानी $1$.

• नियम ३ ($2, 3, 7, 8$ साठी - $4$ ची चक्रीयता):

  या अंकांच्या घातांकांची पुनरावृत्ती दर $4$ टप्प्यांनंतर होते.

  ट्रिक: दिलेल्या घातांकाला $4$ ने भागा. जी बाकी (Remainder) उरेल, तो नवीन घातांक माना.

  • जर बाकी $1$ उरली $\rightarrow$ घातांक $1$ घ्या.

  • जर बाकी $2$ उरली $\rightarrow$ घातांक $2$ घ्या.

  • जर बाकी $3$ उरली $\rightarrow$ घातांक $3$ घ्या.

  • जर बाकी $0$ (पूर्ण भाग गेला) $\rightarrow$ घातांक $4$ घ्या.

  प्रश्न: $2^{53}$ च्या एकक स्थानी कोणता अंक असेल?

  स्पष्टीकरण: घातांक $53$ ला $4$ ने भागा. ($53 \div 4 \rightarrow$ बाकी उरली $1$).

  म्हणून, $2^1 = 2$. एकक स्थानी $2$ हा अंक येईल.

  प्रश्न: $7^{40}$ च्या एकक स्थानी कोणता अंक असेल?

  स्पष्टीकरण: $40 \div 4 \rightarrow$ बाकी उरली $0$.

  बाकी शून्य आल्यास घातांक $4$ घ्यावा. $7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2401$.

  म्हणून एकक स्थानी $1$ हा अंक येईल.

२. पाया समान नसतानाची तुलना ट्रिक (Base Equalization Hack):

जर प्रश्न असा असेल: $25^x = 5^6$ तर $x = ?$

नेहमी मोठ्या पायाचे लहान पायात रूपांतर करा.

$25$ म्हणजेच $5^2$.

म्हणून, $(5^2)^x = 5^6$

$5^{2x} = 5^6$

घातांकांची तुलना करा: $2x = 6 \rightarrow x = 3$.

३. $x + \frac{1}{x}$ प्रकारच्या घातांकाची ट्रिक:

ही बीजगणिताची (Algebra) ट्रिक आहे पण घातांकात खूप वापरली जाते.

जर $x + \frac{1}{x} = p$ दिले असेल, तर:

• $x^2 + \frac{1}{x^2} = p^2 - 2$

• $x^3 + \frac{1}{x^3} = p^3 - 3p$

उदा. जर $x + \frac{1}{x} = 4$, तर $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$.

---

$10$ च्या घातांकाचे सादरीकरण (Metric Prefixes - Table)

विज्ञानातील प्रश्नांसाठी हे $10$ चे घातांक पाठ असणे फायद्याचे ठरते.

• $10^3$ = किलो (Kilo)

• $10^6$ = मेगा (Mega)

• $10^9$ = गिगा (Giga)

• $10^{12}$ = टेरा (Tera)

• $10^{-3}$ = मिली (Milli)

• $10^{-6}$ = मायक्रो (Micro)

• $10^{-9}$ = नॅनो (Nano)

• $10^{-12}$ = पिको (Pico)

घातांक

Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes

Time Left: 20:00

---