समय, चाल, दूरी और यातायात

समय, चाल, दूरी और यातायात (Time, Speed, Distance & Motion)

CTET की परीक्षा में गणितीय अभियोग्यता (Mathematical Aptitude) के अंतर्गत 'समय, चाल और दूरी' एक अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है। इस अध्याय से न केवल सीधे सूत्र आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं, बल्कि व्यावहारिक जीवन (जैसे रेलगाड़ी, नाव, यात्रा) से जुड़े प्रश्न भी आते हैं। इस आर्टिकल में हम इन अवधारणाओं को बिल्कुल शून्य स्तर से लेकर परीक्षा उपयोगी स्तर तक समझेंगे।

1. आधारभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)

समय, चाल और दूरी के बीच का सम्बन्ध भौतिकी और गणित दोनों का आधार है। किसी वस्तु की गति को समझने के लिए हमें इन तीन घटकों को समझना आवश्यक है।

• चाल (Speed): किसी वस्तु द्वारा एकांक समय में तय की गई दूरी को उस वस्तु की चाल कहते हैं। यह वस्तु की गति की तीव्रता को दर्शाती है।

• दूरी (Distance): किन्हीं दो स्थानों या बिन्दुओं के बीच की कुल लंबाई को दूरी कहा जाता है।

• समय (Time): एक निश्चित दूरी को तय करने में जो अवधि लगती है, उसे समय कहते हैं।

महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

इन तीनों के बीच का सम्बन्ध निम्न सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

$$\text{चाल} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$$

$$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$

$$\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$$

याद रखने योग्य तथ्य:

• यदि दूरी स्थिर (Constant) है, तो चाल और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) होते हैं। अर्थात् यदि चाल बढ़ेगी, तो समय कम लगेगा।

  $$\text{चाल} \propto \frac{1}{\text{समय}}$$

2. इकाइयों का रूपांतरण (Conversion of Units)

प्रश्नों को हल करते समय सबसे बड़ी गलती इकाइयों (Units) में होती है। अक्सर प्रश्न में चाल 'किमी/घंटा' में दी जाती है, लेकिन उत्तर 'मीटर/सेकंड' में पूछा जाता है।

किमी/घंटा को मीटर/सेकंड में बदलना

जब चाल $\text{km/h}$ में दी गई हो और उसे $\text{m/s}$ में बदलना हो, तो हम उसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं।

तर्क:

$$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$$

$$1 \text{ hour} = 3600 \text{ seconds}$$

$$\frac{1000}{3600} = \frac{5}{18}$$

उदाहरण:

यदि एक कार की चाल $72 \text{ km/h}$ है, तो मीटर/सेकंड में उसकी चाल क्या होगी?

$$\text{चाल} = 72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20 \text{ m/s}$$

मीटर/सेकंड को किमी/घंटा में बदलना

जब चाल $\text{m/s}$ में दी गई हो और उसे $\text{km/h}$ में बदलना हो, तो हम उसे $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं।

उदाहरण:

यदि एक धावक $25 \text{ m/s}$ की गति से दौड़ रहा है, तो उसकी चाल किमी/घंटा में ज्ञात करें।

$$\text{चाल} = 25 \times \frac{18}{5} = 5 \times 18 = 90 \text{ km/h}$$

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3. औसत चाल (Average Speed)

औसत चाल का अर्थ पूरी यात्रा के दौरान एक समान गति नहीं है, बल्कि यह कुल तय की गई दूरी और कुल लगे समय का अनुपात है।

स्थिति 1: जब दूरियाँ अलग-अलग हों

यदि कोई व्यक्ति अलग-अलग दूरियों को अलग-अलग समय में तय करता है:

$$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल लगा समय}}$$

उदाहरण:

एक व्यक्ति पहले 3 घंटे में 150 किमी चलता है और अगले 2 घंटे में 100 किमी चलता है।

$$\text{कुल दूरी} = 150 + 100 = 250 \text{ km}$$

$$\text{कुल समय} = 3 + 2 = 5 \text{ hours}$$

$$\text{औसत चाल} = \frac{250}{5} = 50 \text{ km/h}$$

स्थिति 2: जब दूरियाँ समान हों

यदि कोई व्यक्ति एक निश्चित दूरी $x \text{ km/h}$ की चाल से जाता है और उतनी ही दूरी $y \text{ km/h}$ की चाल से वापस आता है (या आगे की समान दूरी तय करता है), तो औसत चाल का सूत्र होगा:

$$\text{औसत चाल} = \frac{2xy}{x + y}$$

उदाहरण:

मोहन अपने घर से स्कूल $20 \text{ km/h}$ की चाल से जाता है और $30 \text{ km/h}$ की चाल से वापस आता है।

यहाँ $x = 20$ और $y = 30$ है।

$$\text{औसत चाल} = \frac{2 \times 20 \times 30}{20 + 30}$$

$$= \frac{1200}{50} = 24 \text{ km/h}$$

(ध्यान दें: औसत चाल $25$ नहीं होगी, यह एक सामान्य भ्रांति है)

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4. रेलगाड़ी संबंधित प्रश्न (Problems on Trains)

रेलगाड़ी के प्रश्नों में 'सापेक्ष चाल' और 'रेलगाड़ी की लंबाई' (जो दूरी का काम करती है) सबसे महत्वपूर्ण होती है।

नियम 1: स्थिर वस्तु को पार करना

जब रेलगाड़ी किसी खम्भे, पेड़ या खड़े व्यक्ति (जिनकी लंबाई नगण्य हो) को पार करती है, तो:

तय की गई दूरी = रेलगाड़ी की लंबाई

सूत्र:

$$\text{समय} = \frac{\text{रेलगाड़ी की लंबाई}}{\text{रेलगाड़ी की चाल}}$$

नियम 2: लंबी वस्तु को पार करना

जब रेलगाड़ी किसी पुल, प्लेटफॉर्म, सुरंग या दूसरी खड़ी ट्रेन को पार करती है, तो:

तय की गई दूरी = रेलगाड़ी की लंबाई + प्लेटफॉर्म/पुल की लंबाई

उदाहरण:

$300$ मीटर लंबी एक ट्रेन $54 \text{ km/h}$ की चाल से $200$ मीटर लंबे पुल को कितने समय में पार करेगी?

1. सबसे पहले चाल को $\text{m/s}$ में बदलें:

   $$54 \times \frac{5}{18} = 15 \text{ m/s}$$

2. कुल दूरी:

   $$300 + 200 = 500 \text{ m}$$

3. समय:

   $$\text{समय} = \frac{500}{15} = \frac{100}{3} = 33.33 \text{ second}$$

नियम 3: सापेक्ष चाल (Relative Speed)

जब दो गतिशील वस्तुएँ (जैसे दो ट्रेनें) एक साथ चल रही हों, तो उनकी प्रभावी चाल बदल जाती है।

• विपरीत दिशा (Opposite Direction):

  यदि ट्रेन A की चाल $u$ है और ट्रेन B की चाल $v$ है और वे एक-दूसरे की ओर आ रही हैं, तो चालें जुड़ जाती हैं।

  $$\text{सापेक्ष चाल} = u + v$$

  (क्योंकि वे एक-दूसरे को जल्दी पार करेंगी)

• समान दिशा (Same Direction):

  यदि दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में जा रही हैं, तो चालें घट जाती हैं।

  $$\text{सापेक्ष चाल} = u - v$$

  (तेज़ ट्रेन धीमी ट्रेन को पार करने में समय लेगी)

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5. नाव और धारा (Boat and Stream)

नाव और धारा के प्रश्नों में जल की गति को भी ध्यान में रखना पड़ता है। यहाँ दो मुख्य स्थितियाँ बनती हैं।

माना:

• शांत जल (Still Water) में नाव/तैराक की चाल = $x \text{ km/h}$

• धारा (Stream) की चाल = $y \text{ km/h}$

अ. धारा के अनुकूल / अनुप्रवाह (Downstream)

जब नाव धारा की दिशा में बहती है, तो धारा नाव को धक्का देती है, जिससे उसकी चाल बढ़ जाती है।

$$\text{अनुकूल चाल} (D) = x + y$$

ब. धारा के प्रतिकूल / ऊर्ध्वप्रवाह (Upstream)

जब नाव धारा के विपरीत दिशा में चलती है, तो धारा उसे रोकती है, जिससे चाल कम हो जाती है।

$$\text{प्रतिकूल चाल} (U) = x - y$$

महत्वपूर्ण सूत्र (गणना के लिए)

यदि आपको अनुकूल चाल ($D$) और प्रतिकूल चाल ($U$) दी गई हो, तो:

1. शांत जल में नाव की चाल ($x$):

   $$x = \frac{D + U}{2}$$
   $$\text{नाव की चाल} = \frac{\text{अनुकूल चाल} + \text{प्रतिकूल चाल}}{2}$$

2. धारा की चाल ($y$):

   $$y = \frac{D - U}{2}$$
   $$\text{धारा की चाल} = \frac{\text{अनुकूल चाल} - \text{प्रतिकूल चाल}}{2}$$

उदाहरण:

एक नाव धारा के अनुकूल 4 घंटे में 40 किमी जाती है और धारा के प्रतिकूल 4 घंटे में 24 किमी वापस आती है। धारा की गति ज्ञात करें।

1. अनुकूल चाल ($D$):

   $$D = \frac{40}{4} = 10 \text{ km/h}$$

2. प्रतिकूल चाल ($U$):

   $$U = \frac{24}{4} = 6 \text{ km/h}$$

3. धारा की गति ($y$):

   $$y = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ km/h}$$

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6. व्यावहारिक प्रश्न और ट्रिक्स (Practical Problems & Tricks)

CTET में अक्सर ऐसे प्रश्न आते हैं जो दैनिक जीवन की यात्राओं पर आधारित होते हैं।

रुक-रुक कर चलने पर (Stoppages)

यदि कोई बस बिना रुके $54 \text{ km/h}$ की औसत चाल से चलती है और रुक-रुक कर चलने पर उसकी औसत चाल $45 \text{ km/h}$ हो जाती है, तो बस प्रति घंटा कितने मिनट रुकती है?

ट्रिक सूत्र:

$$\text{विश्राम का समय} = \frac{\text{तेज़ चाल} - \text{धीमी चाल}}{\text{तेज़ चाल}} \times 60 \text{ min}$$

हल:

$$\text{अंतर} = 54 - 45 = 9$$

$$\text{रुकने का समय} = \frac{9}{54} \times 60$$

$$= \frac{1}{6} \times 60 = 10 \text{ min/hour}$$

देरी और जल्दी पहुँचने वाले प्रश्न

यदि एक व्यक्ति $4 \text{ km/h}$ की चाल से चलता है तो 5 मिनट देरी से पहुँचता है, और यदि $5 \text{ km/h}$ से चलता है तो 10 मिनट जल्दी पहुँचता है। दूरी ज्ञात करें।

सूत्र:

$$\text{दूरी} = \frac{\text{चालों का गुणनफल}}{\text{चालों का अंतर}} \times \text{समयांतर}$$

(नोट: यदि एक बार देरी और एक बार जल्दी हो, तो समय जुड़ता है। यदि दोनों बार देरी हो, तो समय घटता है)

यहाँ समय अंतराल = $5 \text{ min (late)} + 10 \text{ min (early)} = 15 \text{ min}$

समय को घंटों में बदलें: $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ घंटा।

$$\text{दूरी} = \frac{4 \times 5}{5 - 4} \times \frac{1}{4}$$

$$= \frac{20}{1} \times \frac{1}{4} = 5 \text{ km}$$

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7. चोर और पुलिस (Thief and Police Problems)

यह सापेक्ष चाल का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।

उदाहरण:

एक चोर दोपहर 1:00 बजे चोरी करके $40 \text{ km/h}$ की चाल से भागता है। पुलिस 2:00 बजे $50 \text{ km/h}$ की चाल से उसका पीछा करती है। पुलिस चोर को कब पकड़ेगी?

1. प्रारंभिक बढ़त: पुलिस के चलने तक (1 घंटे में) चोर ने कितनी दूरी तय की?

   $$1 \times 40 = 40 \text{ km}$$

   अब दोनों के बीच 40 किमी का फासला है।

2. सापेक्ष चाल: चूंकि दोनों एक ही दिशा में भाग रहे हैं:

   $$50 - 40 = 10 \text{ km/h}$$

3. पकड़ने में लगा समय:

   $$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष चाल}} = \frac{40}{10} = 4 \text{ hours}$$

   पुलिस 2:00 बजे चली थी, अतः $2:00 + 4:00 = 6:00$ बजे शाम को चोर पकड़ा जाएगा।

सारांश (Summary)

• गति के समीकरणों का उपयोग करते समय हमेशा इकाइयों (Units) पर ध्यान दें।

• ट्रेन के प्रश्नों में, यदि ट्रेन किसी लंबाई वाली वस्तु को पार करे, तो दूरी = ट्रेन + वस्तु।

• नाव के प्रश्नों में, 'अनुकूल' का मतलब $x+y$ और 'प्रतिकूल' का मतलब $x-y$ है।

• औसत चाल $\neq \frac{a+b}{2}$, बल्कि कुल दूरी/कुल समय होती है।

समय, चाल, दूरी और यातायात

Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes

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