खंड 1: मापन और इकाइयाँ (Measurement and Units)
गणित में किसी भी भौतिक राशि (Physical Quantity) को व्यक्त करने के लिए हमें दो चीजों की आवश्यकता होती है: एक संख्यात्मक मान और एक इकाई। उदाहरण के लिए, यदि हम कहें "रोहन की लम्बाई 5 है", तो इसका कोई अर्थ नहीं है। लेकिन "5 फुट" कहते ही अर्थ स्पष्ट हो जाता है।
1.1 मीट्रिक प्रणाली (The Metric System)
मीट्रिक प्रणाली दुनिया भर में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली मापन प्रणाली है। यह दशमलव (Decimal) पद्धति पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि इकाइयाँ $10$ के गुणज (Multiples) में बढ़ती या घटती हैं।
आधारभूत इकाइयाँ (Base Units):
लम्बाई (Length): मीटर (Meter - m)
भार/द्रव्यमान (Weight/Mass): ग्राम (Gram - g)
धारिता/आयतन (Capacity): लीटर (Litre - L)
1.2 मापन की सीढ़ी (The Ladder of Conversion)
इकाइयों को बदलने के लिए आपको रटने की ज़रूरत नहीं है, बस इस क्रम को याद रखें। इसे हम 'K-H-D-M-D-C-M' के नाम से जानते हैं।
इकाइयों का घटता हुआ क्रम:
किलो (Kilo - k) $= 1000$ गुना (सबसे बड़ी इकाई)
हेक्टो (Hecto - h) $= 100$ गुना
डेका (Deca - da) $= 10$ गुना
मूल इकाई (Base Unit) $= 1$ (मीटर, ग्राम, लीटर)
डेसी (Deci - d) $= 1/10$ वां भाग ($0.1$)
सेन्टी (Centi - c) $= 1/100$ वां भाग ($0.01$)
मिली (Milli - m) $= 1/1000$ वां भाग ($0.001$) (सबसे छोटी इकाई)
खंड 2: रूपांतरण के नियम (Rules of Conversion)
CTET में सबसे ज्यादा गलतियाँ इकाई रूपांतरण में होती हैं। इसे सही करने के लिए 'सीढ़ी नियम' का पालन करें।
नियम 1: बड़ी इकाई से छोटी इकाई (Down the Ladder)
जब हम बड़ी इकाई (जैसे किलोमीटर) को छोटी इकाई (जैसे मीटर) में बदलते हैं, तो हम सीढ़ी से नीचे उतरते हैं।
नियम: हर सीढ़ी उतरने पर संख्या को $10$ से गुणा (Multiply) करें।
ट्रिक: जितने कदम नीचे उतरें, $1$ के आगे उतनी शून्य लगाकर गुणा करें।
उदाहरण: $5$ हेक्टोमीटर को मीटर में बदलें।
हेक्टो से मीटर तक जाने में 2 कदम नीचे उतरना पड़ता है (हेक्टो $\rightarrow$ डेका $\rightarrow$ मीटर)।
अतः $10 \times 10 = 100$ से गुणा करेंगे।
$$5 \text{ hm} = 5 \times 100 = 500 \text{ m}$$
नियम 2: छोटी इकाई से बड़ी इकाई (Up the Ladder)
जब हम छोटी इकाई (जैसे मिलीग्राम) को बड़ी इकाई (जैसे ग्राम) में बदलते हैं, तो हम सीढ़ी पर ऊपर चढ़ते हैं।
नियम: हर सीढ़ी चढ़ने पर संख्या को $10$ से भाग (Divide) दें।
ट्रिक: जितने कदम ऊपर चढ़ें, दशमलव को उतने स्थान बाईं (Left) ओर खिसकाएं।
उदाहरण: $2500$ मिलीलीटर को लीटर में बदलें।
मिली से लीटर तक जाने में 3 कदम ऊपर चढ़ना पड़ता है।
अतः $1000$ से भाग देंगे।
$$2500 \text{ mL} = \frac{2500}{1000} = 2.5 \text{ L}$$
खंड 3: लम्बाई का मापन (Measurement of Length)
दैनिक जीवन में दूरी, कपड़े की नाप, तार की लम्बाई आदि के लिए इसका प्रयोग होता है।
3.1 महत्वपूर्ण मीट्रिक सूत्र
$1$ किलोमीटर (km) $= 1000$ मीटर
$1$ मीटर (m) $= 100$ सेन्टीमीटर (cm)
$1$ सेन्टीमीटर (cm) $= 10$ मिलीमीटर (mm)
$1$ डेसीमीटर (dm) $= 10$ सेन्टीमीटर
3.2 अमानक और ब्रिटिश इकाइयाँ (Non-Metric Units)
CTET अक्सर व्यावहारिक इकाइयों पर प्रश्न पूछता है जो मीट्रिक प्रणाली का हिस्सा नहीं हैं।
इंच (Inch): $1 \text{ inch} = 2.54 \text{ cm}$
फुट (Foot): $1 \text{ foot} = 12 \text{ inches} = 30.48 \text{ cm}$
गज (Yard): $1 \text{ yard} = 3 \text{ feet} = 36 \text{ inches} = 0.9144 \text{ m}$
मील (Mile): $1 \text{ mile} \approx 1.6 \text{ km}$
विस्तृत हल उदाहरण:
प्रश्न: एक तार की लम्बाई $10$ मीटर है। इसमें से $80$ सेन्टीमीटर और $5$ मिलीमीटर के दो टुकड़े काटे गए। शेष तार की लम्बाई कितनी है?
हल:
सबसे पहले सभी इकाइयों को एक समान (सबसे छोटी इकाई यानी मिलीमीटर) में बदलना आसान रहता है।
कुल लम्बाई $= 10 \text{ m} = 10 \times 1000 = 10,000 \text{ mm}$
पहला टुकड़ा $= 80 \text{ cm} = 80 \times 10 = 800 \text{ mm}$
दूसरा टुकड़ा $= 5 \text{ mm}$
कुल काटा गया तार $= 800 + 5 = 805 \text{ mm}$
शेष तार $= 10,000 - 805 = 9195 \text{ mm}$
अब इसे पुनः मीटर में बदल सकते हैं:
खंड 4: भार का मापन (Measurement of Weight)
भार (Weight) और द्रव्यमान (Mass) में वैज्ञानिक अंतर होता है, लेकिन प्राथमिक गणित में हम इन्हें एक ही संदर्भ में उपयोग करते हैं।
4.1 इकाइयों का संबंध
$1$ किलोग्राम (kg) $= 1000$ ग्राम (g)
$1$ ग्राम (g) $= 1000$ मिलीग्राम (mg)
$1$ क्विंटल (Quintal) $= 100$ किलोग्राम
$1$ मीट्रिक टन (Tonne) $= 1000$ किलोग्राम
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Shopping Problems):
सब्जी मंडी के सवालों में अक्सर "ढाई किलो", "पौन किलो" जैसे शब्दों का प्रयोग होता है।
आधा किलो: $500$ ग्राम
पाव (एक चौथाई) किलो: $250$ ग्राम
पौन (तीन चौथाई) किलो: $750$ ग्राम
सवा किलो: $1$ किलो $250$ ग्राम ($1.25$ kg)
ढाई किलो: $2$ किलो $500$ ग्राम ($2.5$ kg)
हल उदाहरण:
प्रश्न: एक दुकानदार के पास $50$ किग्रा चीनी है। वह इसे $250$ ग्राम के छोटे पैकेटों में भरना चाहता है। उसे कितने पैकेटों की आवश्यकता होगी?
हल:
खंड 5: धारिता और आयतन (Capacity and Volume)
यह खंड सबसे महत्वपूर्ण है क्योंकि यहाँ लम्बाई की इकाइयों और तरल की इकाइयों का मिलन होता है।
5.1 मूल इकाइयाँ
$1$ लीटर (L) $= 1000$ मिलीलीटर (mL)
$1$ किलोलीटर (kL) $= 1000$ लीटर
5.2 'घन' और 'लीटर' का जादुई सम्बन्ध (The Golden Rule)
छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं। ठोस आयतन (घन मीटर/सेमी) को तरल धारिता (लीटर) में बदलने का नियम कंठस्थ कर लें:
छोटा पैमाना:
$$1 \text{ cm}^3 \text{ (घन सेमी)} = 1 \text{ mL} \text{ (मिलीलीटर)}$$(अर्थात लूडो के पासे जितने छोटे डिब्बे में 1 मिलीलीटर पानी आएगा)
मध्यम पैमाना:
$$1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ Liter}$$बड़ा पैमाना:
$$1 \text{ m}^3 \text{ (घन मीटर)} = 1000 \text{ Liters}$$(अर्थात 1 मीटर लम्बी, चौड़ी और ऊँची पानी की टंकी में 1000 लीटर पानी आता है)
कठिन प्रश्न का उदाहरण:
प्रश्न: एक घनाभाकार (Cuboidal) टंकी की लम्बाई $2$ मीटर, चौड़ाई $1.5$ मीटर और गहराई $0.5$ मीटर है। इसमें कितने लीटर पानी आएगा?
हल:
टंकी का आयतन निकालें:
$$\text{Volume} = L \times B \times H$$$$= 2 \times 1.5 \times 0.5 = 1.5 \text{ m}^3$$अब इसे लीटर में बदलें ($1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$):
$$1.5 \times 1000 = 1500 \text{ Liters}$$
खंड 6: समय और कैलेंडर (Time and Calendar)
CTET में समय अवधि (Duration) निकालने वाले प्रश्न अनिवार्य रूप से आते हैं।
6.1 समय की इकाइयाँ
$1$ घंटा $= 60$ मिनट $= 3600$ सेकण्ड
$1$ दिन $= 24$ घंटे
$1$ साधारण वर्ष $= 365$ दिन ($52$ सप्ताह $+ 1$ दिन)
$1$ लीप वर्ष (Leap Year) $= 366$ दिन ($52$ सप्ताह $+ 2$ दिन)
6.2 लीप वर्ष की पहचान
जो वर्ष $4$ से पूर्णतः विभाजित हो, वह लीप वर्ष होता है (जैसे 2016, 2024)।
अपवाद: शताब्दी वर्ष (जैसे 1900, 2100) लीप वर्ष तभी होंगे जब वे 400 से विभाजित हों। (1900 लीप वर्ष नहीं था, लेकिन 2000 था)।
6.3 यात्रा का समय निकालना (Elapsed Time)
रेलवे समय सारणी वाले प्रश्नों को हल करने का सबसे सटीक तरीका:
सूत्र: $\text{यात्रा का समय} = \text{पहुँचने का समय} - \text{चलने का समय}$
घटाने की 'उधार' विधि (Borrowing Method):
यदि मिनट घटाए नहीं जा सकते, तो घंटे से $1$ उधार लें। याद रखें, $1$ घंटा उधार लेने पर मिनटों में $60$ जुड़ता है, $100$ नहीं।
उदाहरण: एक ट्रेन 14:40 बजे चली और 18:20 बजे पहुँची।
(20 में से 40 नहीं घट सकता। 18 से 1 घंटा उधार लिया। अब घंटे 17 बचे और मिनट $20+60=80$ हो गए।)
उत्तर: 3 घंटे 40 मिनट।
खंड 7: मुद्रा और एकिक नियम (Money & Unitary Method)
7.1 मुद्रा रूपांतरण
$1$ रुपया $= 100$ पैसे।
रुपये को पैसे में बदलने के लिए $\times 100$, और पैसे को रुपये में बदलने के लिए $\div 100$ करें।
7.2 एकिक नियम (Unitary Method)
यह गणित का सबसे शक्तिशाली टूल है।
अनेक से एक (Many to One): भाग (Divide) करें।
(10 पेन ₹50 के $\rightarrow$ 1 पेन ₹5 का)
एक से अनेक (One to Many): गुणा (Multiply) करें।
(1 पेन ₹5 का $\rightarrow$ 8 पेन ₹40 के)
खंड 8: क्षेत्रमिति (Mensuration - 2D & 3D)
मापन में आकृतियों की परिसीमा और स्थान का मापन भी शामिल है।
8.1 द्विविमीय आकृतियाँ (2D Shapes)
आयत (Rectangle):
परिमाप (Perimeter) $= 2(l + b)$
क्षेत्रफल (Area) $= l \times b$
वर्ग (Square):
परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$
क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2$
महत्वपूर्ण अवधारणा:
यदि दो आकृतियों का परिमाप समान है, तो यह ज़रूरी नहीं कि उनका क्षेत्रफल भी समान हो।
समान परिमाप होने पर, वर्ग का क्षेत्रफल आयत से अधिक होता है।
8.2 त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Shapes)
घनाभ (Cuboid):
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl)$
आयतन $= l \times b \times h$
घन (Cube):
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2$
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (4 दीवारें) $= 4a^2$
आयतन $= a^3$
प्रश्न: 5 सेमी भुजा वाले 2 घनों को सटाकर रखने पर बने घनाभ का आयतन क्या होगा?
हल:
जब दो घन सटाए जाते हैं:
लम्बाई $= 5 + 5 = 10$ सेमी
चौड़ाई $= 5$ सेमी (अपरिवर्तित)
ऊँचाई $= 5$ सेमी (अपरिवर्तित)
$$\text{आयतन} = 10 \times 5 \times 5 = 250 \text{ cm}^3$$
खंड 9: मापन का शिक्षणशास्त्र (Pedagogy of Measurement)
CTET में 15 अंक पेडागोजी के होते हैं। मापन पढ़ाने का सही क्रम (NCERT के अनुसार) निम्नलिखित है:
सरल अवलोकन (Observation): चीजों को देखकर तुलना करना (कौन बड़ा, कौन छोटा)।
अमानक इकाइयों का प्रयोग (Non-Standard Units): अपने हाथ (बित्ता), कदम, पेंसिल या रस्सी से नापना। इससे बच्चों को मापन की आवश्यकता समझ आती है।
मानक इकाइयों का प्रयोग (Standard Units): जब बच्चों को पता चलता है कि सबके हाथ का आकार अलग है, तब 'मीटर' या 'सेमी' जैसी मानक इकाइयों का परिचय देना।
इकाइयों में सम्बन्ध स्थापित करना: अंत में मीटर और सेंटीमीटर के बीच के सम्बन्ध को सिखाना।
खंड 10: परीक्षा के लिए स्मार्ट टिप्स (Smart Tips for Exam)
इकाई समान करें: प्रश्न हल करने से पहले देखें कि क्या सारी इकाइयाँ एक जैसी हैं? यदि नहीं, तो पहले बदलें।
24-घंटे वाली घड़ी: दोपहर 1 बजे को 13:00, शाम 5 बजे को 17:00 लिखने की आदत डालें। इससे घटाना आसान होता है।
अनुमान (Estimation): कई बार विकल्प बहुत दूर-दूर होते हैं। सटीक गणना करने के बजाय अनुमान लगाकर समय बचाएं।
प्रश्न की भाषा: "अंतर", "शेष", "कितना अधिक" जैसे शब्दों पर ध्यान दें, इनका मतलब घटाव होता है। "कुल", "मिलकर" का मतलब जोड़ होता है।
निष्कर्ष (Conclusion)
मापन प्रणाली गणित का वह हिस्सा है जो किताबों से निकलकर हमारी ज़िंदगी में शामिल होता है। CTET में अच्छे अंक लाने के लिए आपको सूत्रों को रटने के बजाय उनके व्यावहारिक प्रयोग पर ध्यान देना चाहिए। ऊपर दिए गए नोट्स और उदाहरणों का नियमित अभ्यास करें। याद रखें, गणित अभ्यास मांगता है।
अब, अपनी तैयारी को परखने के लिए नीचे दिए गए क्विज़ को हल करें। यह क्विज़ वास्तविक परीक्षा के पैटर्न पर आधारित है।
मापन प्रणाली
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
