लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF)

LCM और HCF: गणित की दो जादुई चाबियाँ

गणित में संख्याओं के स्वभाव को समझने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) सबसे आधारभूत और महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। चाहे वह विद्यालय की घंटी बजने का समय हो, ट्रैफिक लाइट्स का बदलना हो, या टाइल्स को फर्श पर सही तरीके से बिछाना हो—इन सब के पीछे LCM और HCF का ही गणित काम करता है।

CTET और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में इस अध्याय से 2-3 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। आइए, इसे बिल्कुल शून्य से शिखर तक समझते हैं।

1. आधारभूत शब्दावली (Basic Terminology)

LCM और HCF को समझने से पहले हमें 'गुणज' और 'गुणनखंड' में अंतर समझना होगा।

अपवर्त्य या गुणज (Multiples)

वे संख्याएँ जो किसी दी गई संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाती हैं, उस संख्या के अपवर्त्य या गुणज (Multiples) कहलाती हैं। सरल भाषा में, यह उस संख्या का 'पहाड़ा' (Table) है।

उदाहरण: $3$ के गुणज $= 3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots$
उदाहरण: $7$ के गुणज $= 7, 14, 21, 28, 35, \dots$

मुख्य बिंदु:

किसी संख्या के गुणजों की संख्या अनंत होती है।
सबसे छोटा गुणज स्वयं वह संख्या होती है।

अपवर्तक या गुणनखंड (Factors)

वे संख्याएँ जो किसी दी गई संख्या को पूर्णतया विभाजित कर दें, उस संख्या के अपवर्तक या गुणनखंड (Factors) कहलाती हैं।

उदाहरण: $12$ के गुणनखंड $= 1, 2, 3, 4, 6, 12$
उदाहरण: $18$ के गुणनखंड $= 1, 2, 3, 6, 9, 18$

मुख्य बिंदु:

$1$ प्रत्येक संख्या का गुणनखंड होता है।
किसी संख्या का सबसे बड़ा गुणनखंड स्वयं वह संख्या होती है।
गुणनखंडों की संख्या सीमित (Finite) होती है।

2. लघुत्तम समापवर्त्य (LCM - Least Common Multiple)

वह छोटी-से-छोटी संख्या जो दी गई प्रत्येक संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाए, उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) कहलाती है।

उदाहरण: $4$ और $6$ का LCM

$4$ के गुणज: $4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, \mathbf{24}, \dots$
$6$ के गुणज: $6, \mathbf{12}, 18, \mathbf{24}, 30, \dots$
यहाँ $12$ और $24$ दोनों उभयनिष्ठ (Common) हैं, लेकिन सबसे छोटा $12$ है।
अतः, $\text{LCM} = 12$

LCM ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to Find LCM)

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

इस विधि में संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड किए जाते हैं और अधिकतम घात (Maximum Power) वाली संख्याओं का गुणा किया जाता है।

प्रश्न: $12, 15$ और $18$ का LCM ज्ञात करें।

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$
$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2$

प्रक्रिया:

सभी अभाज्य संख्याओं ( $2, 3, 5$ ) को चुनें।
उनकी अधिकतम घात लें: $2^2, 3^2, 5^1$
गुणा करें:
$\text{LCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180$

विधि 2: भाग विधि (Division Method)

यह विधि बड़ी संख्याओं के लिए सबसे उपयुक्त है। इसमें सभी संख्याओं को एक पंक्ति में लिखकर अभाज्य संख्याओं से तब तक भाग देते हैं जब तक नीचे $1, 1, 1$ न आ जाए।

प्रश्न: $16, 24, 36$ और $54$ का LCM ज्ञात करें।

\begin{array}{c|c} 2 & 16, 24, 36, 54 \\ \hline 2 & 8, 12, 18, 27 \\ \hline 2 & 4, 6, 9, 27 \\ \hline 2 & 2, 3, 9, 27 \\ \hline 3 & 1, 3, 9, 27 \\ \hline 3 & 1, 1, 3, 9 \\ \hline 3 & 1, 1, 1, 3 \\ \hline & 1, 1, 1, 1 \end{array}

गणना:

\text{LCM} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 432

3. महत्तम समापवर्तक (HCF - Highest Common Factor)

वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जो दी गई प्रत्येक संख्या को पूर्णतया विभाजित कर दे, उन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) कहलाती है। इसे G.C.D. (Greatest Common Divisor) भी कहते हैं।

उदाहरण: $12$ और $18$ का HCF

$12$ के गुणनखंड: $1, 2, 3, 4, \mathbf{6}, 12$
$18$ के गुणनखंड: $1, 2, 3, \mathbf{6}, 9, 18$
सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड $6$ है।
अतः, $\text{HCF} = 6$

HCF ज्ञात करने की विधियाँ

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि

इसमें केवल उन अभाज्य गुणनखंडों को लिया जाता है जो सभी संख्याओं में मौजूद हों और उनकी न्यूनतम घात (Minimum Power) ली जाती है।

प्रश्न: $24, 30$ और $42$ का HCF ज्ञात करें।

$24 = 2^3 \times 3^1$
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$
$42 = 2^1 \times 3^1 \times 7^1$

प्रक्रिया:

उभयनिष्ठ आधार: $2$ और $3$ (क्योंकि $5$ और $7$ सबमें नहीं हैं)।
न्यूनतम घात: $2^1$ और $3^1$
गुणा:
$\text{HCF} = 2^1 \times 3^1 = 6$

विधि 2: भाग विधि (Long Division Method)

यह विधि तब उपयोगी है जब संख्याएँ बहुत बड़ी हों। इसमें बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दिया जाता है, और शेषफल (Remainder) अगले चरण में भाजक (Divisor) बन जाता है।

प्रश्न: $18$ और $30$ का HCF ज्ञात करें।

\begin{array}{r l} 18 ) & 30 \quad ( 1 \\ - & 18 \\ \hline 12 ) & 18 \quad ( 1 \\ - & 12 \\ \hline 6 ) & 12 \quad ( 2 \\ - & 12 \\ \hline & 0 \end{array}

अंतिम भाजक (Divisor) ही HCF होता है।

उत्तर: $\text{HCF} = 6$

4. भिन्नों का ल.स. और म.स. (LCM and HCF of Fractions)

भिन्नों के लिए सूत्र बहुत सरल हैं, लेकिन अक्सर छात्र इसमें भ्रमित हो जाते हैं।

सूत्र:

भिन्नों का LCM:
$\text{LCM} = \frac{\text{अंशों (Numerators) का LCM}}{\text{हरों (Denominators) का HCF}}$
भिन्नों का HCF:
$\text{HCF} = \frac{\text{अंशों (Numerators) का HCF}}{\text{हरों (Denominators) का LCM}}$

याद रखने की ट्रिक: जो निकालना है (LCM या HCF), वही क्रिया 'अंश' (ऊपर वाले भाग) के साथ होगी।

उदाहरण: $\frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{16}{81}$ और $\frac{10}{27}$ का LCM ज्ञात करें।

अंश ( $2, 8, 16, 10$ ) का LCM:
- $16$ सबसे बड़ी संख्या है, $16 \times 5 = 80$ (जो $2, 8, 10$ से विभाज्य है)।
- $\text{LCM} = 80$
हर ( $3, 9, 81, 27$ ) का HCF:
- $3$ सबसे छोटी संख्या है जो सबको काटती है।
- $\text{HCF} = 3$
उत्तर: $\frac{80}{3}$

5. दशमलव संख्याओं का LCM और HCF

दशमलव संख्याओं का हल निकालने के लिए उन्हें पहले समान दशमलव स्थानों में बदलें या भिन्न में परिवर्तित करें।

उदाहरण: $0.6, 9.6$ और $0.12$ का LCM

समान दशमलव स्थान बनाएँ: $0.60, 9.60, 0.12$
दशमलव हटाकर संख्याएँ मानें: $60, 960, 12$
इनका LCM निकालें:
- $960$ संख्या $60$ और $12$ दोनों से विभाज्य है।
- LCM = $960$
दशमलव वापस लगाएँ (2 स्थान): $9.60$
उत्तर: $9.6$

6. दो संख्याओं और उनके LCM/HCF में संबंध

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है जिस पर CTET में बार-बार प्रश्न आते हैं।

\text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} = \text{LCM} \times \text{HCF}

उदाहरण प्रश्न:

दो संख्याओं का LCM $360$ और HCF $12$ है। यदि एक संख्या $72$ है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।

हल:

\begin{align} 72 \times x &= 360 \times 12 \\ x &= \frac{360 \times 12}{72} \\ x &= \frac{360}{6} \\ x &= 60 \end{align}

उत्तर: दूसरी संख्या $60$ है।

7. महत्वपूर्ण अनुप्रयोग और शब्द-समस्याएँ (Word Problems)

परीक्षा में प्रश्न सीधे न पूछकर व्यावहारिक स्थितियों पर आधारित होते हैं। यहाँ कुछ प्रमुख प्रकार (Types) दिए गए हैं:

Type A: घंटियाँ / ट्रैफिक लाइट्स (LCM आधारित)

जब भी प्रश्न में "एक साथ पुनः कब बजेंगी/बदलेंगी" पूछा जाए, तो LCM निकाला जाता है।

प्रश्न: तीन ट्रैफिक लाइट्स क्रमशः $45, 75$ और $90$ सेकंड के अंतराल पर बदलती हैं। यदि वे सुबह 7:20:15 पर एक साथ बदली हों, तो अगली बार कब बदलेंगी?

हल:

हमें $45, 75, 90$ का LCM निकालना होगा।

$45 = 3^2 \times 5$
$75 = 3 \times 5^2$
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$
$\text{LCM} = 2 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 = 450 \text{ सेकंड}$

$450$ सेकंड को मिनट में बदलें:

\frac{450}{60} = 7 \text{ मिनट } 30 \text{ सेकंड}

समय जोड़ें:

7:20:15 + 0:07:30 = 7:27:45 \text{ बजे}

Type B: मापन / अधिकतम लंबाई (HCF आधारित)

जब प्रश्न में "बड़ी-से-बड़ी माप", "अधिकतम क्षमता" या "समान आकार के टुकड़े" की बात हो, तो HCF निकाला जाता है।

प्रश्न: एक दूधवाले के पास $15$ लीटर, $24$ लीटर और $45$ लीटर दूध के डिब्बे हैं। वह बड़े-से-बड़ा किस माप का बर्तन इस्तेमाल करे कि सभी डिब्बों का दूध पूरा-पूरा नाप सके?

हल:

हमें $15, 24, 45$ का HCF निकालना होगा।

$15 = 3 \times 5$
$24 = 2^3 \times 3$
$45 = 3^2 \times 5$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $= 3$
उत्तर: $3$ लीटर का बर्तन।

Type C: शेषफल वाले प्रश्न (Remainder Problems)

LCM में शेषफल: "वह छोटी-से-छोटी संख्या जिसे $x, y, z$ से भाग देने पर प्रत्येक दशा में $r$ शेष बचे।"
- सूत्र: $\text{LCM}(x, y, z) + r$
HCF में शेषफल: "वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जिससे $x, y, z$ को भाग देने पर क्रमशः $a, b, c$ शेष बचे।"
- सूत्र: $\text{HCF}(x-a, y-b, z-c)$

उदाहरण: वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे $15, 24, 36$ को भाग देने पर क्रमशः $1, 2, 4$ शेष बचे।

संख्याएँ होंगी:
- $15 - 1 = 14$
- $24 - 2 = 22$
- $36 - 4 = 32$
अब $14, 22, 32$ का HCF ज्ञात करें।
$14 = 2 \times 7$
$22 = 2 \times 11$
$32 = 2^5$
$\text{HCF} = 2$

8. घात वाली संख्याओं का LCM और HCF

यदि आधार (Base) समान हो:

LCM: अधिकतम घात (Highest Power) वाली संख्या।
HCF: न्यूनतम घात (Lowest Power) वाली संख्या।

उदाहरण: $5^3, 5^7, 5^{11}$

$\text{LCM} = 5^{11}$
$\text{HCF} = 5^3$

ऋणात्मक घात (Negative Exponents) के लिए:

याद रखें, ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या दिखने में बड़ी होती है, वह वास्तव में छोटी होती है (जैसे $-7 < -3$)।

उदाहरण: $2^{-5}, 2^{-7}, 2^{-11}$
- अधिकतम घात (Maximum Power) $= -5$ (बड़ी संख्या)
- न्यूनतम घात (Minimum Power) $= -11$ (छोटी संख्या)
- $\text{LCM} = 2^{-5}$
- $\text{HCF} = 2^{-11}$

9. त्वरित पुनरीक्षण (Quick Revision Points)

दो अभाज्य संख्याओं (जैसे $5, 7$ ) का HCF हमेशा $1$ होता है और LCM उनका गुणनफल होता है।
LCM हमेशा दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है।
HCF हमेशा दी गई संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे छोटा होता है।
HCF हमेशा LCM को पूर्णतया विभाजित करता है।
भिन्नों का $\text{LCM} \times \text{HCF} = \text{अंशों का गुणनफल} / \text{हरों का गुणनफल}$ ।

यह अध्याय गणित की नींव है। CTET में सफलता के लिए ऊपर दी गई विधियों का अभ्यास करें और नीचे दी गई क्विज़ को हल करके अपनी तैयारी जाँचें।