विभाज्यता के नियम, सरलीकरण और संख्या पैटर्न

1. परिचय: गणितीय संक्रियाओं में गति का महत्व

गणित केवल उत्तर निकालने के बारे में नहीं है, बल्कि सही उत्तर तेजी से निकालने के बारे में है।

• समय प्रबंधन: CTET में प्रत्येक प्रश्न के लिए सीमित समय होता है। यदि आप विभाज्यता के नियम जानते हैं, तो आप लंबी भाग प्रक्रिया से बच सकते हैं।

• सटीकता: सरलीकरण के नियमों (जैसे BODMAS) का पालन करने से 'सिली मिस्टेक्स' (छोटी गलतियाँ) की संभावना खत्म हो जाती है।

• आत्मविश्वास: जब आप संख्याओं के पैटर्न को जल्दी पहचान लेते हैं, तो कठिन प्रश्न भी आसान लगने लगते हैं।

---

2. विभाज्यता की जाँच (Test of Divisibility)

विभाज्यता के नियम हमें यह बताते हैं कि कोई संख्या किसी दूसरी संख्या से पूरी तरह विभाजित होगी या नहीं, बिना वास्तविक भाग किए।

2 से विभाज्यता (Divisibility by 2)

• नियम: यदि किसी संख्या का अंतिम अंक (इकाई का अंक) $0, 2, 4, 6$ या $8$ है, तो वह संख्या $2$ से विभाज्य होगी।

• यह सम संख्याओं (Even Numbers) की पहचान भी है।

• उदाहरण:

  • $546 \rightarrow$ अंतिम अंक $6$ है। (विभाज्य है)

  • $135 \rightarrow$ अंतिम अंक $5$ है। (विभाज्य नहीं है)

3 से विभाज्यता (Divisibility by 3)

• नियम: यदि संख्या के सभी अंकों का योग (Sum of digits) $3$ से विभाज्य है, तो पूरी संख्या $3$ से विभाज्य होगी।

• उदाहरण: संख्या $729$

  • अंकों का योग: $7 + 2 + 9 = 18$

  • चूँकि $18 \div 3 = 6$ (विभाज्य है), इसलिए $729$ भी $3$ से विभाज्य है।

4 से विभाज्यता (Divisibility by 4)

• नियम: यदि संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य है या अंतिम दोनों अंक शून्य ($00$) हैं।

• उदाहरण:

  • $1524 \rightarrow$ अंतिम दो अंक $24$ हैं। $24 \div 4 = 6$ (विभाज्य है)।

  • $900 \rightarrow$ अंतिम दो अंक $00$ हैं (विभाज्य है)।

5 से विभाज्यता (Divisibility by 5)

• नियम: यदि संख्या का अंतिम अंक $0$ या $5$ है।

• उदाहरण: $125, 340, 5555$ (सभी विभाज्य हैं)।

6 से विभाज्यता (Divisibility by 6)

• नियम: $6$ एक संयुक्त संख्या है ($2 \times 3$)। इसलिए, यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो वह $6$ से भी विभाज्य होगी।

• शर्तें:

  1. संख्या सम होनी चाहिए (अंतिम अंक $0, 2, 4, 6, 8$)।

  2. अंकों का योग $3$ से भाग होना चाहिए।

• उदाहरण: संख्या $132$

  • सम संख्या है (अंतिम अंक $2$)।

  • योग: $1 + 3 + 2 = 6$ (3 से विभाज्य)।

  • अतः, $132$, $6$ से विभाज्य है।

7 से विभाज्यता (Divisibility by 7)

• नियम: संख्या के अंतिम अंक को दोगुना करें और शेष बची संख्या में से घटाएं। यदि परिणाम $7$ से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी विभाज्य होगी।

• उदाहरण: संख्या $343$

  • अंतिम अंक: $3$

  • शेष संख्या: $34$

  • प्रक्रिया:

    $$34 - (3 \times 2) = 34 - 6 = 28$$

  • चूँकि $28 \div 7 = 4$, इसलिए $343$, $7$ से विभाज्य है।

8 से विभाज्यता (Divisibility by 8)

• नियम: यदि संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या $8$ से विभाज्य है या अंतिम तीन अंक शून्य ($000$) हैं।

• उदाहरण: $1416$

  • अंतिम तीन अंक: $416$

  • भाग जाँच: $416 \div 8 = 52$ (विभाज्य है)।

9 से विभाज्यता (Divisibility by 9)

• नियम: यदि संख्या के सभी अंकों का योग $9$ से विभाज्य है। (यह 3 के नियम जैसा ही है)।

• उदाहरण: $7254$

  • योग: $7 + 2 + 5 + 4 = 18$

  • $18 \div 9 = 2$ (विभाज्य है)।

10 से विभाज्यता (Divisibility by 10)

• नियम: अंतिम अंक $0$ होना चाहिए।

11 से विभाज्यता (Divisibility by 11) - अत्यंत महत्वपूर्ण

• नियम: संख्या के विषम स्थानों (Odd places) के अंकों का योग और सम स्थानों (Even places) के अंकों के योग का अंतर या तो $0$ होना चाहिए या $11$ का गुणज (जैसे 11, 22)।

• सूत्र:

  $$\text{Difference} = (\text{Sum of Odd Place Digits}) - (\text{Sum of Even Place Digits})$$

• उदाहरण: संख्या $1331$

  • विषम स्थान (पहला, तीसरा): $1 + 3 = 4$

  • सम स्थान (दूसरा, चौथा): $3 + 1 = 4$

  • अंतर: $4 - 4 = 0$

  • अतः संख्या $11$ से विभाज्य है।

• उदाहरण 2: संख्या $909183$

  • विषम स्थान ($3+1+0$): $4$

  • सम स्थान ($8+9+9$): $26$

  • अंतर: $26 - 4 = 22$ ($11$ से विभाज्य है)।

---

3. गणितीय संक्रियाएँ और BODMAS

सरलीकरण (Simplification) के प्रश्नों को हल करने के लिए संक्रियाओं का सही क्रम पता होना अनिवार्य है।

BODMAS का नियम

गणित में हल करने का क्रम निम्नलिखित होता है:

1. B - Bracket (कोष्ठक): सबसे पहले कोष्ठक हल करें। क्रम:

   • रेखा कोष्ठक (Line bracket): $\overline{a-b}$

   • छोटा कोष्ठक (Parentheses): $( )$

   • मझला कोष्ठक (Braces): $\{ \}$

   • बड़ा कोष्ठक (Square bracket): $[ ]$

2. O - Of (का): इसका अर्थ गुणा होता है, लेकिन यह भाग से पहले हल होता है।

3. D - Division (भाग): $\div$

4. M - Multiplication (गुणा): $\times$

5. A - Addition (जोड़): $+$

6. S - Subtraction (घटाव): $-$

नोट: जोड़ और घटाव को अंत में बाएं से दाएं हल किया जा सकता है।

BODMAS उदाहरण (विस्तृत हल)

प्रश्न: सरल करें:

$$24 \div 4 \times (8 - 2) + 5$$

हल:

• Step 1 (Bracket): कोष्ठक $(8-2)$ को हल करें।

  $$24 \div 4 \times 6 + 5$$

• Step 2 (Division): भाग $24 \div 4$ करें।

  $$6 \times 6 + 5$$

• Step 3 (Multiplication): गुणा $6 \times 6$ करें।

  $$36 + 5$$

• Step 4 (Addition): जोड़ करें।

  $$41$$

भारतीय भाग विधि (Long Division Method)

बड़े भाग को हल करने के लिए मानक विधि का प्रयोग करें। सटीकता के लिए अंकों को सही स्थान पर लिखें।

उदाहरण: $485 \div 15$

$$\begin{array}{r l} 15 ) & 485 \quad ( 32 \\ - & 45 \downarrow \\ \hline & 35 \\ - & 30 \\ \hline & 05 \quad (\text{Remainder}) \end{array}$$

• भागफल (Quotient): $32$

• शेषफल (Remainder): $5$

---

4. बीजगणितीय सूत्र (Algebraic Formulas)

सरलीकरण के कई प्रश्न सीधे सूत्रों पर आधारित होते हैं। इन्हें याद रखने से गणना का समय आधा हो जाता है।

महत्वपूर्ण सूत्र

निम्नलिखित सूत्रों को कंठस्थ करें:

1. वर्ग सूत्र (Square Formulas):

   • $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
   • $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
   • $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

2. घन सूत्र (Cube Formulas):

   • $$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$
   • $$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$$
   • $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
   • $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

3. अन्य महत्वपूर्ण संबंध:

   • $$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$$
   • $$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$$

रामानुजन संख्या (Hardy-Ramanujan Number)

संख्या 1729 को रामानुजन संख्या कहा जाता है।

• यह वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों (cubes) के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

  $$1729 = 12^3 + 1^3$$
  $$1729 = 10^3 + 9^3$$

• CTET में अक्सर यह तथ्यात्मक प्रश्न पूछा जाता है।

---

5. सन्निकट मान (Approximation)

दैनिक जीवन और गणित में अनुमानित उत्तर निकालने के लिए सन्निकटन का प्रयोग होता है। इसे 'Rounding Off' कहते हैं।

• नियम: जिस स्थान तक सन्निकट करना है, उसके ठीक दाईं ओर का अंक देखें।

  • यदि अंक $0, 1, 2, 3, 4$ है: तो पिछले अंक को वैसा ही रखें और बाद के सभी अंकों को $0$ कर दें।

  • यदि अंक $5, 6, 7, 8, 9$ है: तो पिछले अंक में $+1$ जोड़ें और बाद के सभी अंकों को $0$ कर दें।

उदाहरण 1: निकटतम दहाई (Tens)

• $43 \approx 40$ (क्योंकि 3, 5 से छोटा है)

• $47 \approx 50$ (क्योंकि 7, 5 से बड़ा है)

उदाहरण 2: निकटतम सैकड़ा (Hundreds)

• $649 \approx 600$ (दहाई का अंक 4 है, जो 5 से छोटा है)

• $651 \approx 700$ (दहाई का अंक 5 है, नियम के अनुसार अगला अंक बढ़ेगा)

उदाहरण 3: दशमलव सन्निकटन

• $$4.678 \approx 4.7$$

  (एक दशमलव स्थान तक)

• $$9.99 \approx 10.0$$

---

6. पैटर्न (Patterns)

गणित में पैटर्न की पहचान करना तार्किक क्षमता को दर्शाता है। CTET में श्रृंखला (Series) के प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

अंकगणितीय पैटर्न

जब संख्याओं के बीच का अंतर समान हो।

• $2, 5, 8, 11, \dots$ (यहाँ अंतर $+3$ है)

• अगला पद: $11 + 3 = 14$

ज्यामितीय पैटर्न

जब संख्याएँ किसी निश्चित संख्या से गुणा होकर बढ़ रही हों।

• $2, 4, 8, 16, \dots$ (यहाँ $\times 2$ हो रहा है)

• अगला पद: $16 \times 2 = 32$

वर्ग और घन पैटर्न

• $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ (प्राकृत संख्याओं के वर्ग: $n^2$)

• $1, 8, 27, 64, \dots$ (प्राकृत संख्याओं के घन: $n^3$)

त्रिकोणीय संख्याएँ (Triangular Numbers)

वे संख्याएँ जिन्हें बिंदुओं के माध्यम से त्रिभुज के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है।

• $1, 3, 6, 10, 15, \dots$

• पैटर्न:

  • $1$

  • $1 + 2 = 3$

  • $1 + 2 + 3 = 6$

  • $1 + 2 + 3 + 4 = 10$

---

सारांश (Quick Recap)

1. विभाज्यता: 2, 5, 10 (अंतिम अंक); 3, 9 (अंकों का योग); 4, 8 (अंतिम 2 या 3 अंक); 11 (सम-विषम योग का अंतर)।

2. BODMAS: पहले कोष्ठक, फिर भाग/गुणा, अंत में जोड़/घटाव।

3. सूत्र: $a^2-b^2$ का प्रयोग सबसे अधिक होता है।

4. सन्निकटन: 5 या उससे बड़े अंक पर अगला मान लें।

विभाज्यता के नियम, सरलीकरण और संख्या पैटर्न

Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes

Time Left: 20:00

---