भिन्न और दशमलव संख्याएँ

1. परिचय: भिन्न (Fraction)

भिन्न का शाब्दिक अर्थ है "बाँटना" या "टुकड़ा"। जब किसी पूर्ण वस्तु या समूह को बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से कुछ भागों को दर्शाने वाली संख्या भिन्न कहलाती है।

एक भिन्न को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $q \neq 0$ हो।
अंश: भिन्न का ऊपरी भाग (Numerator) जो लिए गए भागों की संख्या दर्शाता है।
हर: भिन्न का निचला भाग (Denominator) जो कुल बराबर भागों की संख्या दर्शाता है।

उदाहरण:

$\frac{3}{5}$ में, $3$ अंश है और $5$ हर है। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु के $5$ बराबर हिस्से किए गए और उनमें से $3$ हिस्से लिए गए।

2. भिन्नों के प्रकार (Types of Fractions)

भिन्नों को उनके अंश और हर के संबंध के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

क. उचित भिन्न (Proper Fraction)

जब भिन्न का अंश उसके हर से छोटा होता है।
इसका मान हमेशा 1 से कम होता है।
उदाहरण: $\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{11}{15}$

ख. अनुचित भिन्न (Improper Fraction)

जब भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा या बराबर होता है।
इसका मान 1 या 1 से अधिक होता है।
उदाहरण: $\frac{5}{2}, \frac{7}{4}, \frac{10}{10}$

ग. मिश्र भिन्न (Mixed Fraction)

यह एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयोजन होता है।
इसे "सही बटा" के रूप में पढ़ा जाता है।
उदाहरण: $2\frac{1}{3}$ (दो सही एक बटा तीन)।
रूपांतरण सूत्र:
अनुचित भिन्न में बदलने के लिए:
$\text{अनुचित भिन्न} = \frac{(\text{पूर्ण संख्या} \times \text{हर}) + \text{अंश}}{\text{हर}}$
उदाहरण: $3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

घ. समान भिन्न (Like Fractions)

जिन भिन्नों के हर (Denominator) समान होते हैं।
उदाहरण: $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{5}{7}$

ङ. असमान भिन्न (Unlike Fractions)

जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं।
उदाहरण: $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{1}{9}$

च. व्युत्क्रम भिन्न (Inverse Fraction)

जब किसी भिन्न के अंश और हर को आपस में बदल दिया जाता है।
उदाहरण: $\frac{3}{4}$ का व्युत्क्रम $\frac{4}{3}$ है।

3. भिन्नों पर संक्रियाएँ (Operations on Fractions)

CTET परीक्षा में भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग पर आधारित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

I. भिन्नों का जोड़ (Addition)

स्थिति 1: जब हर समान हो

केवल अंशों को जोड़ा जाता है और हर वही रहता है।

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}

स्थिति 2: जब हर असमान हो

सबसे पहले हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालें।
प्रत्येक भिन्न के हर को LCM के बराबर बनाएँ।

उदाहरण: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

3 और 4 का LCM = 12
पहली भिन्न: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
दूसरी भिन्न: $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
जोड़:

\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

II. भिन्नों का घटाव (Subtraction)

घटाव की प्रक्रिया जोड़ के समान ही है, बस अंशों को घटाया जाता है।

उदाहरण: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

6 और 4 का LCM = 12

\frac{5 \times 2}{12} - \frac{1 \times 3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12}

III. भिन्नों का गुणा (Multiplication)

इसमें अंश का गुणा अंश से और हर का गुणा हर से किया जाता है।

नियम:

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

उदाहरण:

\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \quad (\text{सरल करने पर})

IV. भिन्नों का भाग (Division)

भाग करने के लिए, भाग के चिह्न ( $\div$ ) को गुणा ( $\times$ ) में बदलें और दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम (उल्टा) कर दें।

नियम:

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

उदाहरण:

\frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}

4. दशमलव संख्याएँ (Decimal Numbers)

दशमलव वे संख्याएँ हैं जिन्हें 10 की घात (Power of 10) वाले हर के साथ भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दशमलव बिंदु (.) पूर्ण संख्या और भिन्न भाग को अलग करता है।

स्थान मान (Place Value):

दशमलव बिंदु के दाईं ओर का मान इस प्रकार होता है:

पहला स्थान: दशांश ( $\frac{1}{10}$ )
दूसरा स्थान: शतांश ( $\frac{1}{100}$ )
तीसरा स्थान: सहस्रांश ( $\frac{1}{1000}$ )

उदाहरण: $25.46$

$20 + 5 + \frac{4}{10} + \frac{6}{100}$

5. दशमलव संख्याओं की संक्रियाएँ

I. जोड़ और घटाव

दशमलव संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय, दशमलव बिंदु को एक सीध में रखना सबसे महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: $2.5 + 1.25$

\begin{array}{r} 2.50 \\ + 1.25 \\ \hline 3.75 \end{array}

(ध्यान दें: $2.5$ को $2.50$ लिखा गया ताकि अंक समान हो जाएँ)

II. दशमलव का गुणा

दशमलव भूलकर सामान्य गुणा करें।
दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद कुल कितने अंक हैं, उन्हें गिनें।
उत्तर में दाईं ओर से उतने ही अंक छोड़कर दशमलव लगाएँ।

उदाहरण: $0.2 \times 0.3$

$2 \times 3 = 6$
दशमलव स्थान: 1 (पहली संख्या) + 1 (दूसरी संख्या) = 2 स्थान
उत्तर: $0.06$

III. दशमलव का भाग

यदि भाजक (Divisor) में दशमलव है, तो उसे हटाने के लिए अंश और हर दोनों में 10, 100 आदि से गुणा करें।

उदाहरण: $2.4 \div 0.2$

\frac{2.4}{0.2} = \frac{2.4 \times 10}{0.2 \times 10} = \frac{24}{2} = 12

6. रूपांतरण (Conversion)

क. दशमलव से भिन्न में बदलना

दशमलव बिंदु हटा दें।
हर में 1 के बाद उतने शून्य लगाएँ जितने दशमलव के बाद अंक थे।
भिन्न को सरलतम रूप में लिखें।

उदाहरण: $0.75$

0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \quad (\text{25 से भाग देने पर})

ख. भिन्न से दशमलव में बदलना (भाग विधि)

इस प्रक्रिया में हम हर से अंश को भाग देते हैं। यदि अंश छोटा है या शेषफल बचता है, तो दशमलव बिंदु लगाकर शून्य बढ़ाया जाता है।

उदाहरण: $\frac{17}{8}$ को दशमलव में बदलें

यहाँ हम 'भाग विधि' का प्रयोग करेंगे।

\begin{array}{r l} 8 ) & 17.000 \quad ( 2.125 \\ - & 16 \\ \hline & 10 \quad (\text{दशमलव के बाद 0 उतारा}) \\ - & 8 \\ \hline & 20 \\ - & 16 \\ \hline & 40 \\ - & 40 \\ \hline & 0 \end{array}

अतः, $\frac{17}{8} = 2.125$

7. भिन्नों की तुलना (Comparison of Fractions)

यह पता लगाना कि कौन सी भिन्न बड़ी या छोटी है।

विधि 1: तिर्यक गुणा (Cross Multiplication)

दो भिन्नों $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ की तुलना के लिए:

$a \times d$ और $b \times c$ निकालें।
यदि $ad > bc$ , तो $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$

उदाहरण: $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{7}$

$3 \times 7 = 21$
$5 \times 4 = 20$
चूँकि $21 > 20$ , इसलिए $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$

विधि 2: हर समान करके

सभी भिन्नों के हर का LCM लेकर उन्हें समान भिन्न में बदलें। फिर जिस भिन्न का अंश बड़ा होगा, वह भिन्न बड़ी होगी।

8. आवर्ती दशमलव (Recurring Decimals)

जब दशमलव के बाद कोई अंक या अंकों का समूह बार-बार आता है, तो उसे आवर्ती दशमलव कहते हैं। इसे दर्शाने के लिए अंकों के ऊपर बार ( $\bar{x}$ ) लगाया जाता है।

उदाहरण: $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\bar{3}$

आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना:

ट्रिक: दशमलव के बाद जितने अंकों पर बार है, हर में उतने ही 9 लिखें।

$0.\bar{7} = \frac{7}{9}$
$0.\overline{35} = \frac{35}{99}$

9. महत्वपूर्ण स्मरणीय तथ्य (Key Facts for CTET)

किसी भी भिन्न में, यदि अंश और हर को समान शून्येतर संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलता (तुल्य भिन्न)।
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$
शून्य को किसी भी संख्या से भाग देने पर परिणाम 0 आता है ( $\frac{0}{5} = 0$ )।
किसी संख्या को शून्य से भाग देना अपरिभाषित (Undefined) है ( $\frac{5}{0} = \infty$ ).
सबसे छोटी उचित भिन्न ज्ञात नहीं की जा सकती, लेकिन उचित भिन्नों का मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है (धनात्मक भिन्नों के लिए)।
BODMAS नियम: भिन्नों के सरलीकरण में भी पहले कोष्ठक, फिर 'का' (Of), भाग, गुणा, जोड़ और अंत में घटाव का क्रम पालन होता है।