1. चतुर्भुज परिवार (The Family of Quadrilaterals)
चार रेखाखण्डों (Line Segments) से घिरी हुई बन्द आकृति को चतुर्भुज कहते हैं।
मूलभूत नियम: किसी भी चतुर्भुज के चारों अन्तः कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ होता है।
अवयव: इसमें 4 शीर्ष (Vertices), 4 भुजाएँ (Sides) और 2 विकर्ण (Diagonals) होते हैं।
आइए चतुर्भुज परिवार के प्रत्येक सदस्य को विस्तार से समझें:
(A) आयत (Rectangle)
आयत एक ऐसा समानांतर चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण समकोण ($90^\circ$) होता है।
गुण (Properties):
भुजाएँ: सम्मुख भुजाएँ (Opposite sides) समान और समानांतर होती हैं।
कोण: चारों कोण $90^\circ$ के होते हैं।
विकर्ण:
आयत के दोनों विकर्ण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
वे एक-दूसरे को समद्विभाजित (Bisect) करते हैं (अर्थात् एक-दूसरे को दो बराबर भागों में काटते हैं)।
महत्वपूर्ण: आयत के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर नहीं काटते (जब तक कि वह वर्ग न हो)।
सूत्र (Formulas):
क्षेत्रफल (Area): $\text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई}$ ($l \times b$)
परिमाप (Perimeter): $2 (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})$
विकर्ण (Diagonal): $\sqrt{(\text{लम्बाई})^2 + (\text{चौड़ाई})^2}$
उदाहरण: यदि किसी आयत की लम्बाई 4 cm और चौड़ाई 3 cm है, तो उसका विकर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ होगा।
(B) वर्ग (Square)
वर्ग एक विशिष्ट प्रकार का आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसे 'नियमित चतुर्भुज' (Regular Quadrilateral) भी कहते हैं।
गुण (Properties):
भुजाएँ: चारों भुजाएँ समान लम्बाई की होती हैं।
कोण: प्रत्येक कोण $90^\circ$ का होता है।
विकर्ण (Diagonals) - (CTET के लिए अति महत्वपूर्ण):
विकर्ण लम्बाई में बराबर होते हैं।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
विशेष गुण: वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण ($90^\circ$) पर काटते हैं।
सूत्र (Formulas):
क्षेत्रफल: $(\text{भुजा})^2$ या $\frac{1}{2} \times (\text{विकर्ण})^2$
परिमाप: $4 \times \text{भुजा}$
विकर्ण: $\text{भुजा} \times \sqrt{2}$
(C) समानांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
यह आयत का 'तिरछा' रूप है। इसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं।
गुण (Properties):
भुजाएँ: सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं।
कोण:
सम्मुख कोण (Opposite angles) बराबर होते हैं (जैसे $\angle A = \angle C$)।
आसन्न कोणों (Adjacent angles) का योग $180^\circ$ होता है।
विकर्ण:
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
नोट: इसके विकर्ण बराबर नहीं होते।
इसके विकर्ण $90^\circ$ पर नहीं काटते।
सूत्र (Formulas):
क्षेत्रफल: $\text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ ($Base \times Height$)
परिमाप: $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग})$
(D) समचतुर्भुज (Rhombus)
यह वर्ग का 'तिरछा' रूप है। इसे अक्सर 'बर्फी' के आकार या 'हीरे' (Diamond) के आकार के रूप में देखा जाता है।
गुण (Properties) - (सबसे ज्यादा भ्रमित करने वाला टॉपिक):
भुजाएँ: चारों भुजाएँ बराबर होती हैं (जैसे वर्ग में)।
कोण: सम्मुख कोण बराबर होते हैं, लेकिन कोई भी कोण $90^\circ$ का होना अनिवार्य नहीं है।
विकर्ण:
विकर्ण लम्बाई में असमान (बराबर नहीं) होते हैं।
अति महत्वपूर्ण: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं।
सूत्र (Formulas):
क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ (जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्ण हैं)।
परिमाप: $4 \times \text{भुजा}$
तुलनात्मक अध्ययन:
वर्ग vs समचतुर्भुज: दोनों की चारों भुजाएँ बराबर हैं। लेकिन वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं, जबकि समचतुर्भुज के नहीं।
समानता: दोनों के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर काटते हैं।
(E) समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium)
वह चतुर्भुज जिसमें भुजाओं का केवल एक जोड़ा (One pair) समानांतर होता है।
सूत्र:
क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{उनके बीच की दूरी (ऊंचाई)}$
$$\text{Area} = \frac{1}{2} (a + b) \times h$$
2. वृत्त (Circle) – एक विशेष गोलाकार आकृति
वृत्त एक ऐसे तल के उन सभी बिन्दुओं का समूह है जो एक निश्चित बिन्दु (केन्द्र) से समान दूरी पर होते हैं।
वृत्त की शब्दावली (Terminology):
त्रिज्या (Radius - $r$): केन्द्र से परिधि तक की दूरी। सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं।
व्यास (Diameter - $d$): वह रेखाखण्ड जो केन्द्र से होकर गुजरे और वृत्त को दो बिन्दुओं पर छुए।
- $$d = 2 \times r$$
जीवा (Chord): वृत्त पर स्थित किन्हीं भी दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड।
महत्वपूर्ण तथ्य: व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
चाप (Arc): परिधि का कोई भी छोटा हिस्सा।
वृत्तखण्ड (Segment): जीवा और चाप के बीच का क्षेत्र।
त्रिज्यखण्ड (Sector): दो त्रिज्याओं और चाप के बीच का क्षेत्र (जैसे पिज्जा का टुकड़ा)।
वृत्त के महत्वपूर्ण गुण (Properties):
केन्द्र से लम्ब: वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है (समद्विभाजित करता है)।
कोण का नियम: एक चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
उदाहरण: यदि परिधि पर कोण $30^\circ$ है, तो केन्द्र पर $60^\circ$ होगा।
अर्द्धवृत्त का कोण: अर्द्धवृत्त (Semi-circle) में बना कोण हमेशा समकोण ($90^\circ$) होता है।
चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral): यदि किसी चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर हों, तो उसके आमने-सामने के कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
सूत्र (Formulas):
परिधि (Circumference): यह वृत्त का परिमाप है।
$$C = 2\pi r \quad \text{या} \quad \pi d$$(जहाँ $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14$)
क्षेत्रफल (Area):
$$A = \pi r^2$$
3. परिमाप और क्षेत्रफल: अवधारणा और शिक्षण (Perimeter vs. Area)
CTET में अक्सर प्रश्न आता है: "एक शिक्षक कक्षा 5 के छात्र को परिमाप और क्षेत्रफल का अंतर कैसे समझाएगा?"
अवधारणात्मक अंतर (Conceptual Difference):
परिमाप (Perimeter - 1D माप):
परिभाषा: किसी भी बन्द आकृति के चारों ओर की कुल सीमा (Boundary) की लम्बाई।
वास्तविक जीवन उदाहरण:
खेत के चारों ओर बाड़ लगाना (Fencing)।
साड़ी के किनारे पर गोटा लगाना।
पार्क के चारों ओर दौड़ना।
इकाई: मीटर ($m$), सेंटीमीटर ($cm$)।
क्षेत्रफल (Area - 2D माप):
परिभाषा: किसी आकृति द्वारा समतल पर घेरा गया कुल स्थान (Surface occupied)।
वास्तविक जीवन उदाहरण:
कमरे के फर्श पर टाइल लगाना (Tiling)।
खेत की जुताई करना।
दीवार पर पेंट करना।
चादर बिछाना।
इकाई: वर्ग मीटर ($m^2$), वर्ग सेंटीमीटर ($cm^2$), हेक्टेयर।
इकाइयों का खेल और रूपांतरण (Unit Conversion):
छात्र अक्सर इकाइयों को बदलने में गलती करते हैं। इसे ध्यान से समझें:
लम्बाई (1D):
$1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}$
$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$
$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$
क्षेत्रफल (2D) - यहाँ "वर्ग" होता है:
$1 \text{ cm}^2 = 10 \text{ mm} \times 10 \text{ mm} = 100 \text{ mm}^2$
$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ cm} \times 100 \text{ cm} = 10,000 \text{ cm}^2$
भूमि मापन की इकाइयां (Land Measurement):
हेक्टेयर (Hectare): यह क्षेत्रफल की बड़ी इकाई है।
$$1 \text{ Hectare} = 10,000 \text{ m}^2$$इसका अर्थ है $100 \text{ m} \times 100 \text{ m}$ का एक वर्गाकार मैदान।
शिक्षण टिप: बच्चों को समझाएं कि परिमाप 'धागे की लम्बाई' जैसा है जिससे आकृति बनी है, और क्षेत्रफल 'कागज की मात्रा' है जो उस आकृति को भरने में लगता है।
4. सममिति और पैटर्न (Symmetry & Patterns)
सममिति का अर्थ है संतुलन। जब किसी आकृति को मोड़ने या घुमाने पर वह वैसी ही दिखे या अपने दूसरे भाग को पूरी तरह ढक ले।
(A) रैखिक सममिति (Lines of Symmetry)
यह वह काल्पनिक रेखा है जहाँ से मोड़ने पर आकृति के दोनों हिस्से एक-दूसरे को पूरी तरह ढक लेते हैं (दर्पण प्रतिबिम्ब)।
विभिन्न आकृतियों में सममित रेखाओं की संख्या:
नोट: समानांतर चतुर्भुज (Parallelogram) में कोई सममित रेखा नहीं होती (0), जब तक कि वह आयत या समचतुर्भुज न हो।
(B) घूर्णन सममिति (Rotational Symmetry)
जब हम किसी आकृति को उसके केन्द्र के चारों ओर घुमाते हैं, तो एक पूरा चक्कर ($360^\circ$) लगाने के दौरान वह कितनी बार अपनी मूल स्थिति जैसी दिखती है। इसे 'घूर्णन का क्रम' (Order of Rotation) कहते हैं।
वर्ग: क्रम 4 (हर $90^\circ$ पर समान दिखता है)।
आयत: क्रम 2 (हर $180^\circ$ पर समान दिखता है)।
समबाहु त्रिभुज: क्रम 3 (हर $120^\circ$ पर)।
वृत्त: अनंत।
5. बहुभुज (Polygons) - अतिरिक्त महत्वपूर्ण बिंदु
तीन या अधिक भुजाओं वाली बन्द आकृति बहुभुज कहलाती है।
नियमित बहुभुज (Regular Polygon): जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हों।
महत्वपूर्ण सूत्र:
अन्तः कोणों का योग: किसी $n$-भुजाओं वाले बहुभुज के अन्तः कोणों का योग:
$$(n - 2) \times 180^\circ$$उदाहरण: पंचभुज ($n=5$) के लिए: $(5-2) \times 180 = 3 \times 180 = 540^\circ$।
प्रत्येक अन्तः कोण (समबहुभुज के लिए):
$$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$बाह्य कोणों का योग: किसी भी उत्तल बहुभुज (Convex Polygon) के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ होता है।
सारांश (Quick Revision)
विकर्ण: वर्ग और समचतुर्भुज के विकर्ण $90^\circ$ पर काटते हैं। आयत और समानांतर चतुर्भुज के नहीं।
समान विकर्ण: केवल वर्ग और आयत के विकर्ण समान होते हैं।
वृत्त: $Area = \pi r^2$, $Circumference = 2\pi r$।
सममिति: वर्ग में 4 रेखाएँ, आयत में 2।
शिक्षण विधि: परिमाप = बाड़ लगाना, क्षेत्रफल = खेत जोतना।
निष्कर्ष और अगला कदम
CTET में सफलता के लिए केवल सूत्रों को याद रखना पर्याप्त नहीं है। आपको यह पहचानना होगा कि प्रश्न में "चारों ओर घूमने" (परिमाप) की बात हो रही है या "सतह को ढकने" (क्षेत्रफल) की। साथ ही, आकृतियों के बीच के सूक्ष्म अंतर (जैसे वर्ग बनाम समचतुर्भुज) को स्पष्ट रखना होगा।
2D आकृतियाँ और क्षेत्रमिति
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
