नित्यसमानता

गणितामध्ये आकडेमोड करताना काही वेळा खूप मोठी पदे किंवा संख्यांचा गुणाकार करावा लागतो. अशा वेळी प्रत्येक वेळी प्रत्यक्ष गुणाकार करणे वेळखाऊ आणि कठीण असते. स्पर्धा परीक्षांमध्ये, विशेषतः शिक्षक पात्रता परीक्षा आणि स्कॉलरशिप परीक्षेमध्ये वेळेचे नियोजन अत्यंत महत्त्वाचे असते. याच ठिकाणी नित्यसमानता किंवा विस्तार सूत्रांची भूमिका महत्त्वाची ठरते. या लेखामध्ये आपण नित्यसमानता म्हणजे काय, त्यांची विविध सूत्रे आणि त्यांचा व्यावहारिक उदाहरणांमध्ये कसा वापर करायचा, हे सविस्तर आणि सोप्या भाषेत शिकणार आहोत.

नित्यसमानता म्हणजे काय?

गणितात आपण 'समीकरण' आणि 'नित्यसमानता' या दोन शब्दांचा वापर करतो. या दोन्हीमध्ये एक मूलभूत फरक आहे, जो समजून घेणे गरजेचे आहे.

समीकरण:

समीकरण हे चलाच्या (Variable) केवळ काही विशिष्ट किमतींसाठीच सत्य असते. उदाहरणार्थ, जर आपण $x + 5 = 10$ हे समीकरण घेतले, तर हे केवळ $x = 5$ असतानाच बरोबर ठरते. $x$ ची दुसरी कोणतीही किंमत ठेवली, तर डावी बाजू आणि उजवी बाजू समान येणार नाही.

नित्यसमानता:

नित्यसमानता हे असे विधान आहे जे चलाच्या कोणत्याही किमतीसाठी नेहमीच सत्य असते. म्हणजे तुम्ही चलाची कोणतीही वास्तव संख्या किंमत म्हणून ठेवली, तरी डावी बाजू (LHS) आणि उजवी बाजू (RHS) नेहमी सारखीच येते.

उदाहरणार्थ:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

समजा आपण $a = 2$ आणि $b = 3$ घेऊ.

डावी बाजू: $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$

उजवी बाजू: $2^2 + 2 \times 2 \times 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25$

येथे दोन्ही बाजू समान आल्या. तुम्ही $a$ आणि $b$ च्या कोणत्याही किमती घेतल्या तरी उत्तर नेहमी सारखेच येईल. म्हणूनच याला 'नित्यसमानता' असे म्हणतात.

१. दोन पदांच्या बेरजेचा वर्ग: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

हे सर्वात मूलभूत आणि महत्त्वाचे सूत्र आहे. जेव्हा आपल्याला दोन पदांच्या बेरजेचा वर्ग करायचा असतो, तेव्हा आपण या सूत्राचा वापर करतो.

हे सूत्र कसे तयार झाले?

कोणत्याही संख्येचा वर्ग म्हणजे त्या संख्येचा त्याच संख्येशी केलेला गुणाकार.

$(a + b)^2 = (a + b) \times (a + b)$

$= a(a + b) + b(a + b)$

$= a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$

$= a^2 + ab + ba + b^2$

गणितात $ab = ba$ असते, म्हणून:

$= a^2 + 2ab + b^2$

नियम:

पहिल्या पदाचा वर्ग करा.
दोन्ही पदांच्या गुणाकाराची दुप्पट करा.
दुसऱ्या पदाचा वर्ग करा.
या सर्वांची बेरीज करा.

उदाहरण १: $(3x + 4y)^2$ चा विस्तार करा.

येथे $a = 3x$ आणि $b = 4y$ आहे.

सूत्राचा वापर करून:

$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times (4y) + (4y)^2$

$= 9x^2 + 24xy + 16y^2$

२. दोन पदांच्या वजाबाकीचा वर्ग: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

जेव्हा दोन पदांच्या वजाबाकीचा वर्ग करायचा असतो, तेव्हा केवळ मध्यम पदाचे चिन्ह बदलते.

हे सूत्र कसे तयार झाले?

$(a - b)^2 = (a - b) \times (a - b)$

$= a(a - b) - b(a - b)$

$= a^2 - ab - ba + b^2$ (येथे $-b \times -b = +b^2$ होते)

$= a^2 - 2ab + b^2$

महत्त्वाचा फरक:

लक्षात ठेवा, $(a + b)^2$ आणि $(a - b)^2$ मध्ये फक्त मध्यम पद $2ab$ च्या चिन्हात फरक असतो. दोन्ही सूत्रांमध्ये $a^2$ आणि $b^2$ नेहमी धन (Positive) असतात.

उदाहरण २: $(5p - 3q)^2$ चा विस्तार करा.

येथे $a = 5p$ आणि $b = 3q$ आहे.

$(5p - 3q)^2 = (5p)^2 - 2 \times (5p) \times (3q) + (3q)^2$

$= 25p^2 - 30pq + 9q^2$

३. दोन पदांच्या बेरजेचा आणि वजाबाकीचा गुणाकार: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

हे सूत्र स्पर्धा परीक्षांमध्ये सर्वात जास्त वापरले जाणारे सूत्र आहे. याला 'वर्गांतराचे सूत्र' असेही म्हणतात.

हे सूत्र कसे तयार झाले?

$(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)$

$= a^2 - ab + ba - b^2$

येथे $-ab$ आणि $+ba$ एकमेकांना रद्द (Cancel) करतात.

$= a^2 - b^2$

नियम:

जर दोन कंसांमध्ये पदे सारखीच असतील, पण एका कंसात बेरीज आणि दुसऱ्यात वजाबाकी असेल, तर त्यांचे उत्तर म्हणजे 'पहिल्या पदाचा वर्ग वजा दुसऱ्या पदाचा वर्ग' होय.

उदाहरण ३: $(2m + 7)(2m - 7)$ चा गुणाकार करा.

येथे $a = 2m$ आणि $b = 7$ आहे.

$(2m + 7)(2m - 7) = (2m)^2 - (7)^2$

$= 4m^2 - 49$

४. सामाईक पद असलेल्या द्विपदींचा गुणाकार: $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

जेव्हा दोन कंसांमध्ये पहिले पद सारखे असते पण दुसरे पद भिन्न असते, तेव्हा या सूत्राचा वापर होतो.

विस्तार प्रक्रिया:

$(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)$

$= x^2 + bx + ax + ab$

$= x^2 + (b + a)x + ab$

$= x^2 + (a + b)x + ab$

उदाहरण ४: $(x + 5)(x + 3)$ चा विस्तार करा.

येथे $a = 5$ आणि $b = 3$ आहे.

$(x + 5)(x + 3) = x^2 + (5 + 3)x + (5 \times 3)$

$= x^2 + 8x + 15$

५. तीन पदांच्या बेरजेचा वर्ग: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

जेव्हा तीन पदे एकत्र असतात आणि त्यांचा पूर्ण वर्ग करायचा असतो, तेव्हा हे सूत्र वापरले जाते.

नियम:

प्रत्येक पदाचा स्वतंत्र वर्ग करा आणि त्यानंतर प्रत्येक जोडीच्या गुणाकाराची दुप्पट मिळवा.

उदाहरण ५: $(p + 2q + 3r)^2$ चा विस्तार करा.

$(p + 2q + 3r)^2 = (p)^2 + (2q)^2 + (3r)^2 + 2(p)(2q) + 2(2q)(3r) + 2(3r)(p)$

$= p^2 + 4q^2 + 9r^2 + 4pq + 12qr + 6rp$

विस्तार सूत्रांचे व्यावहारिक उपयोजन (संख्यांचा वर्ग काढणे)

परीक्षेत मोठ्या संख्यांचे वर्ग विचारले जातात. गुणाकार करण्याऐवजी आपण सूत्रांचा वापर करून ते सेकंदात सोडवू शकतो.

प्रकार १: $100$ पेक्षा मोठ्या संख्येचा वर्ग ( $102^2$ )

$102$ ला आपण $(100 + 2)$ असे लिहू शकतो.

येथे $a = 100$ आणि $b = 2$ .

$(100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2$

$= 10000 + 400 + 4$

$= 10404$

प्रकार २: $100$ पेक्षा लहान संख्येचा वर्ग ( $98^2$ )

$98$ ला आपण $(100 - 2)$ असे लिहू शकतो.

येथे $a = 100$ आणि $b = 2$ .

$(100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2$

$= 10000 - 400 + 4$

$= 9600 + 4$

$= 9604$

प्रकार ३: मोठ्या गुणाकारांचे सुलभीकरण ( $103 \times 97$ )

येथे $103 = 100 + 3$ आणि $97 = 100 - 3$ आहे.

म्हणून, $(100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2$

$= 10000 - 9$

$= 9991$

शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

स्पर्धा परीक्षेसाठी काही महत्त्वाच्या युक्त्या खालीलप्रमाणे आहेत:

ट्रिक १: जर $x + \frac{1}{x} = k$ असेल, तर $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ची किंमत काढणे.

अशा प्रश्नात सरळ $k^2 - 2$ हे सूत्र वापरावे.

उदाहरण: जर $x + \frac{1}{x} = 5$ असेल, तर $x^2 + \frac{1}{x^2} = ?$

रीत: $5^2 - 2 = 25 - 2 = 23$

ट्रिक २: जर $x - \frac{1}{x} = k$ असेल, तर $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ची किंमत काढणे.

येथे $k^2 + 2$ हे सूत्र वापरावे.

उदाहरण: जर $x - \frac{1}{x} = 4$ असेल, तर $x^2 + \frac{1}{x^2} = ?$

रीत: $4^2 + 2 = 16 + 2 = 18$

ट्रिक ३: $x^2 - y^2$ चा वापर करून भागाकार सोडवणे.

उदा. $\frac{98^2 - 2^2}{96}$

येथे अंश $(98 + 2)(98 - 2)$ असा होतो.

$= \frac{100 \times 96}{96}$

$= 100$

प्रगत विस्तार सूत्रे (घनाचे विस्तार)

परीक्षेची काठिण्य पातळी वाढल्यास घनाची (Cube) सूत्रे विचारली जातात:

१. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

किंवा $a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

२. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

किंवा $a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

३. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

४. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

या सूत्रांवर आधारित प्रश्न विशेषतः सरलीकरण (Simplification) या भागात येतात.

बहुपदींचा भागाकार आणि नित्यसमानता

काही वेळा बहुपदीला द्विपदीने भागण्यासाठी विस्तार सूत्रांचा उपयोग होतो. जर आपल्याला $a^2 - b^2$ माहित असेल आणि त्याला $(a - b)$ ने भागायचे असेल, तर उत्तर नेहमी $(a + b)$ येते.

उदाहरण: $(x^2 - 25) \div (x + 5)$

येथे $x^2 - 25$ म्हणजे $x^2 - 5^2$ आहे.

त्याचा विस्तार $(x + 5)(x - 5)$ होतो.

त्यामुळे, $\frac{(x + 5)(x - 5)}{(x + 5)} = x - 5$

अभ्यासासाठी काही महत्त्वाच्या टिप्स

१. सूत्रांची उजळणी: दररोज सकाळी ही सूत्रे एकदा लिहून काढा. गणितात पाठांतरापेक्षा लिहून केलेली सराव जास्त काळ लक्षात राहतो.

२. चिन्हांकडे लक्ष द्या: $(a - b)^2$ मध्ये फक्त मध्यम पद उणे असते, तर $(a - b)^3$ मध्ये एकाआड एक पदे उणे असतात. चिन्हांची चूक झाल्यास पूर्ण उत्तर चुकते.

३. संख्यांशी तुलना करा: जेव्हा परीक्षेत चल (Variables) ऐवजी संख्या येतात, तेव्हा त्या कोणत्या सूत्रात बसतात ते ओळखायला शिका. (उदा. $0.98$ ला $1 - 0.02$ मानणे).

४. सराव: मागील वर्षांच्या प्रश्नपत्रिकांमधील विस्तार सूत्रांवर आधारित किमान ५० प्रश्न सोडवा.

विस्तार सूत्रे हा केवळ एक धडा नसून ते गणिताचे एक साधन आहे. एकदा का तुम्हाला ही सूत्रे वापरण्याचे कौशल्य प्राप्त झाले, तर तुम्ही बीजगणितातील कठीण प्रश्न देखील अगदी काही सेकंदात सोडवू शकाल.