त्रिमितीय भूमिती - वक्रपृष्ठ आकृत्या

 या लेखात  आपण दंडगोल, शंकू, गोल आणि अर्धगोल या आकृत्यांचा सविस्तर आणि सखोल अभ्यास करणार आहोत.

---

१. दंडगोल (Cylinder)

दंडगोल ही एक अशी त्रिमितीय आकृती आहे जिचा पाया आणि वरचा भाग हे दोन्ही समान आकाराची वर्तुळे असतात आणि त्यांचा मध्यभाग एका वक्र पृष्ठाने जोडलेला असतो. आपल्या घरातील पाण्याचे पिंप, स्वयंपाकाचा गॅस सिलेंडर किंवा पेन्सिल ही दंडगोलाची उत्तम उदाहरणे आहेत.

दंडगोलाचे घटक

दंडगोलाचा अभ्यास करताना आपल्याला दोन महत्त्वाच्या गोष्टी माहिती असणे आवश्यक आहे:

1. पायाची त्रिज्या (Radius): दंडगोलाचा पाया वर्तुळाकार असतो, म्हणून त्या वर्तुळाची त्रिज्या $r$ ही दंडगोलाची त्रिज्या मानली जाते.

2. उंची (Height): दोन वर्तुळाकार तळांमधील लंबांतर म्हणजे दंडगोलाची उंची $h$ होय.

दंडगोलाची सूत्रे आणि त्यांचे स्पष्टीकरण

अ) दंडगोलाचे वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area):

समजा आपण एका दंडगोलाकार डब्याचे वरचे आणि खालचे टोपण काढून टाकले आणि मधल्या भागाला सरळ कापले, तर आपल्याला एक आयत मिळेल. या आयताची लांबी म्हणजे त्या वर्तुळाचा परीघ $2\pi r$ असेल आणि रुंदी म्हणजे दंडगोलाची उंची $h$ असेल. म्हणून:

$$वक्रपृष्ठफळ = पायाचा परीघ \times उंची$$

$$वक्रपृष्ठफळ = 2\pi rh$$

ब) दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area):

एकूण पृष्ठफळ काढताना आपल्याला वक्रपृष्ठफळामध्ये वरच्या आणि खालच्या दोन्ही वर्तुळांचे क्षेत्रफळ मिळवावे लागते. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ $\pi r^2$ असते.

$$एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + 2 \times वर्तुळाचे क्षेत्रफळ$$

$$एकूण पृष्ठफळ = 2\pi rh + 2\pi r^2$$

येथे $2\pi r$ सामाईक काढल्यास आपल्याला मिळते:

$$एकूण पृष्ठफळ = 2\pi r(h + r)$$

क) दंडगोलाचे घनफळ (Volume):

घनफळ म्हणजे त्या वस्तूने अवकाशात व्यापलेली एकूण जागा. दंडगोलाचे घनफळ काढण्यासाठी पायाच्या क्षेत्रफळाला उंचीने गुणावे लागते.

$$घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ \times उंची$$

$$घनफळ = \pi r^2 h$$

उदाहरण १: एका दंडगोलाची त्रिज्या $7$ सेमी आणि उंची $10$ सेमी आहे, तर त्याचे घनफळ किती? ($\pi = \frac{22}{7}$ घ्या)

उकल:

दिलेल्या किमती: $r = 7$, $h = 10$

सूत्र: $घनफळ = \pi r^2 h$

$$घनफळ = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 10$$

$$घनफळ = 22 \times 7 \times 10$$

$$घनफळ = 154 \times 10 = 1540 \text{ घन सेमी}$$

---

२. शंकू (Cone)

शंकू ही एक अशी त्रिमितीय आकृती आहे जिचा पाया वर्तुळाकार असतो आणि तो वरच्या बाजूला एका बिंदूमध्ये (शिरोबिंदू) विरघळतो. जोकरची टोपी किंवा आईस्क्रीमचा कोन ही शंकूची प्रसिद्ध उदाहरणे आहेत.

शंकूचे घटक

1. पायाची त्रिज्या (r): तळाशी असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या.

2. लंब उंची (h): शिरोबिंदूपासून पायाच्या केंद्रापर्यंतचे लंबांतर.

3. तिरकस उंची (l): शिरोबिंदूपासून पायाच्या परिघावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर. याला इंग्रजीमध्ये Slant Height म्हणतात.

पायथागोरसचा संबंध

शंकूमध्ये लंब उंची ($h$), त्रिज्या ($r$) आणि तिरकस उंची ($l$) हे तिघे मिळून एक काटकोन त्रिकोण तयार करतात. त्यामुळे पायथागोरसच्या सिद्धान्तानुसार:

$$l^2 = r^2 + h^2$$

किंवा

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

ही तिरकस उंची वक्रपृष्ठफळ काढण्यासाठी अत्यंत आवश्यक असते.

शंकूची सूत्रे

अ) शंकूचे वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area):

शंकूचा फक्त वरचा वक्र भाग विचारात घेतला तर त्याचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे असते:

$$वक्रपृष्ठफळ = \pi rl$$

ब) शंकूचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area):

वक्रपृष्ठफळामध्ये तळाच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मिळवल्यास एकूण पृष्ठफळ मिळते.

$$एकूण पृष्ठफळ = \pi rl + \pi r^2$$

$$एकूण पृष्ठफळ = \pi r(l + r)$$

क) शंकूचे घनफळ (Volume):

एक महत्त्वाचा प्रयोग असा की, जर एकाच पायाची त्रिज्या आणि समान उंची असलेला दंडगोल आणि शंकू घेतला, तर दंडगोलाचे घनफळ हे शंकूच्या घनफळाच्या तिप्पट असते. म्हणजेच शंकूचे घनफळ हे दंडगोलाच्या घनफळाचा तिसरा हिस्सा असतो.

$$घनफळ = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

उदाहरण २: एका शंकूची त्रिज्या $6$ सेमी आणि उंची $8$ सेमी असल्यास त्याची तिरकस उंची काढा.

उकल:

दिलेले: $r = 6, h = 8$

$$l = \sqrt{6^2 + 8^2}$$

$$l = \sqrt{36 + 64}$$

$$l = \sqrt{100} = 10 \text{ सेमी}$$

---

३. गोल आणि अर्धगोल (Sphere & Hemisphere)

गोल ही पूर्णपणे वक्र असलेली आकृती आहे. चेंडू किंवा पृथ्वीचा गोल ही याची उदाहरणे आहेत. गोलाला कोणताही सपाट पृष्ठभाग किंवा कडा नसते.

गोलाची सूत्रे

अ) गोलाचे पृष्ठफळ (Surface Area):

गोलाला फक्त एकच पृष्ठभाग असतो, जो वक्र असतो. याचे क्षेत्रफळ हे त्याच त्रिज्येच्या चार वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांइतके असते.

$$पृष्ठफळ = 4\pi r^2$$

ब) गोलाचे घनफळ (Volume):

$$घनफळ = \frac{4}{3} \pi r^3$$

अर्धगोल (Hemisphere)

जेव्हा आपण एका गोलाला मधून बरोबर दोन समान भागात कापतो, तेव्हा मिळणाऱ्या आकृतीला अर्धगोल म्हणतात.

अ) अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ:

हे पूर्ण गोलाच्या पृष्ठफळाच्या निम्मे असते.

$$वक्रपृष्ठफळ = 2\pi r^2$$

ब) अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ:

अर्धगोलाला कापल्यानंतर वरच्या बाजूला एक नवीन वर्तुळाकार सपाट पृष्ठभाग तयार होतो. म्हणून एकूण पृष्ठफळात या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मिळवावे लागते.

$$एकूण पृष्ठफळ = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$$

क) अर्धगोलाचे घनफळ:

हे पूर्ण गोलाच्या घनफळाच्या निम्मे असते.

$$घनफळ = \frac{2}{3} \pi r^3$$

---

४. संमिश्र आकृत्या आणि रुपांतरण (Conversion of Solids)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये अनेकदा असा प्रश्न विचारला जातो की, "एक धातूचा गोल वितळवून त्यापासून लहान लहान गोळ्या बनवल्या किंवा तार (दंडगोल) बनवली." अशा वेळी एक मूलभूत नियम लक्षात ठेवा:

"जेव्हा एका त्रिमितीय आकृतीचे दुसऱ्या आकृतीत रुपांतर केले जाते, तेव्हा त्यांचे घनफळ नेहमी स्थिर राहते."

महत्त्वाचे सूत्र:

जर मोठ्या वस्तूपासून $n$ लहान वस्तू तयार केल्या जात असतील, तर:

$$n = \frac{मोठ्या वस्तूचे घनफळ}{एका लहान वस्तूचे घनफळ}$$

---

५. शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

स्पर्धा परीक्षेत वेळ वाचवण्यासाठी खालील ट्रिक्स खूप उपयोगी ठरतात:

ट्रिक १: त्रिज्येतील बदलाचा घनफळावर होणारा परिणाम

जर एखाद्या गोलाची किंवा दंडगोलाची त्रिज्या $x\%$ ने वाढवली, तर क्षेत्रफळात आणि घनफळात किती बदल होईल?

• क्षेत्रफळासाठी: $2x + \frac{x^2}{100} \%$ वाढ.

• घनफळासाठी: जर त्रिज्या दुप्पट केली, तर घनफळ $2^3 = 8$ पट होईल. (कारण घनफळात त्रिज्येचा घन $r^3$ असतो).

ट्रिक २: गुणोत्तर पद्धत

जर दोन दंडगोलांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर $r_1:r_2$ आणि उंचीचे गुणोत्तर $h_1:h_2$ असेल, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर:

$$V_1 : V_2 = (r_1^2 \times h_1) : (r_2^2 \times h_2)$$

ट्रिक ३: शंकू आणि दंडगोल संबंध

जर एकाच पायावर आणि समान उंचीवर एक शंकू आणि एक दंडगोल उभे असतील, तर त्यांच्या घनफळांचे गुणोत्तर नेहमी $1 : 3$ असते.

उदाहरण ३: एक $6$ सेमी त्रिज्येचा धातूचा गोल वितळवून $2$ सेमी त्रिज्येचे किती लहान गोळे तयार होतील?

उकल:

लहान गोळ्यांची संख्या ($n$) = $\frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{R^3}{r^3}$

$$n = \frac{6 \times 6 \times 6}{2 \times 2 \times 2}$$

$$n = 3 \times 3 \times 3 = 27$$

म्हणून, एकूण $27$ गोळे तयार होतील.

---

६. सरावासाठी उदाहरणे आणि सखोल विश्लेषण

टीईटी परीक्षेमध्ये शाब्दिक उदाहरणे फिरवून विचारली जातात. उदाहरणार्थ, "एका विहिरीतून काढलेली माती विहिरीभोवती पसरवून ओटा तयार केला." येथे विहीर म्हणजे दंडगोल आणि ओटा म्हणजे पोकळ दंडगोल असतो. अशा वेळी मातीचे घनफळ = ओट्याचे घनफळ हे समीकरण वापरावे लागते.

लक्षात ठेवण्यासारख्या गोष्टी:

• एकके (Units) नेहमी समान असावीत. जर त्रिज्या सेमी मध्ये असेल आणि उंची मीटर मध्ये, तर आधी उंचीला सेमी मध्ये रूपांतरित करा ($1 \text{ मीटर} = 100 \text{ सेमी}$).

• घनफळाचे एकक नेहमी 'घन सेमी' ($cm^3$) किंवा 'घन मीटर' ($m^3$) असते.

• पृष्ठफळाचे एकक नेहमी 'चौरस सेमी' ($cm^2$) किंवा 'चौरस मीटर' ($m^2$) असते.

QUIZ

Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes

Time Left: 20:00

---