त्रिकोणी, चौरस आणि इतर भौमितिक संख्या
महाराष्ट्र शिक्षक पात्रता परीक्षा (Maha TET) आणि शिष्यवृत्ती परीक्षांसाठी 'संख्याज्ञान' या घटकातील त्रिकोणी संख्या (Triangular Numbers) आणि चौरस संख्या (Square Numbers) हा अत्यंत महत्त्वाचा उपघटक आहे. यावर दरवर्षी हमखास १ ते २ प्रश्न विचारले जातात. या लेखात आपण या संकल्पना अत्यंत सोप्या भाषेत, सूत्रांसह आणि मागील वर्षांच्या प्रश्नांच्या (PYQ) स्पष्टीकरणासह पाहणार आहोत.
१. त्रिकोणी संख्या
त्रिकोणी संख्या म्हणजे काय? हे समजून घेण्यासाठी आपल्याला त्या संख्येची रचना पाहावी लागते. ज्या संख्यांची मांडणी समभुज त्रिकोणाच्या आकारात बिंदूंच्या स्वरूपात करता येते, त्यांना त्रिकोणी संख्या म्हणतात.
दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे तर, दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या गुणाकाराच्या निमपटीस 'त्रिकोणी संख्या' असे म्हणतात.
महत्त्वाचे नियम आणि गुणधर्म
पाया: ज्या दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार केला जातो, त्यातील लहान संख्येला त्या त्रिकोणी संख्येचा पाया म्हणतात.
सुरुवात: १ ही पहिली त्रिकोणी संख्या आहे.
कोणत्याही त्रिकोणी संख्येची दुप्पट ही दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार असते.
सलग दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज ही नेहमी त्रिकोणी संख्या असते. (उदा. $1+2=3, 1+2+3=6$)
सूत्र (Formula)
जर $n$ हा पाया असेल, तर त्रिकोणी संख्या काढण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:
येथे:
$T$ = त्रिकोणी संख्या
$n$ = पाया (लहान नैसर्गिक संख्या)
$(n+1)$ = पायाच्या पुढील क्रमवार संख्या
२. त्रिकोणी संख्या कशी ओळखावी? (पाया काढणे)
परीक्षेत अनेकदा त्रिकोणी संख्या दिली जाते आणि तिचा पाया विचारला जातो. यासाठी खालील पद्धत वापरावी.
पद्धत:
१. दिलेल्या संख्येची दुप्पट करावी.
२. त्या दुपटीच्या अगोदरची (लहान) पूर्ण वर्ग संख्या शोधावी.
३. त्या पूर्ण वर्ग संख्येचे वर्गमूळ काढावे.
४. आलेले उत्तर म्हणजेच त्या त्रिकोणी संख्येचा पाया होय.
उदाहरण: $21$ या त्रिकोणी संख्येचा पाया किती?
उकल:
स्टेप १: संख्येची दुप्पट करा.
$$21 \times 2 = 42$$स्टेप २: $42$ च्या आधीची पूर्ण वर्ग संख्या शोधा.
$42$ च्या आधीची पूर्ण वर्ग संख्या $36$ आहे.
स्टेप ३: $36$ चे वर्गमूळ काढा.
$$\sqrt{36} = 6$$उत्तर: $21$ या त्रिकोणी संख्येचा पाया $6$ आहे.
३. पहिली १० त्रिकोणी संख्यांची यादी
स्पर्धा परीक्षेसाठी पहिल्या काही त्रिकोणी संख्या पाठ असणे आवश्यक आहे.
| पाया (n) | गणना | त्रिकोणी संख्या |
| $1$ | $\frac{1 \times 2}{2}$ | $1$ |
| $2$ | $\frac{2 \times 3}{2}$ | $3$ |
| $3$ | $\frac{3 \times 4}{2}$ | $6$ |
| $4$ | $\frac{4 \times 5}{2}$ | $10$ |
| $5$ | $\frac{5 \times 6}{2}$ | $15$ |
| $6$ | $\frac{6 \times 7}{2}$ | $21$ |
| $7$ | $\frac{7 \times 8}{2}$ | $28$ |
| $8$ | $\frac{8 \times 9}{2}$ | $36$ |
| $9$ | $\frac{9 \times 10}{2}$ | $45$ |
| $10$ | $\frac{10 \times 11}{2}$ | $55$ |
४. चौरस संख्या
ज्या संख्येचे वर्गमूळ नैसर्गिक संख्या असते, त्या संख्येला चौरस संख्या किंवा पूर्ण वर्ग संख्या म्हणतात. या संख्यांची मांडणी चौरसाच्या आकारात बिंदूंच्या स्वरूपात करता येते.
उदाहरणे: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...$
त्रिकोणी आणि चौरस संख्यांमधील संबंध
हा भाग परीक्षेसाठी अत्यंत महत्त्वाचा आहे.
नियम: कोणत्याही दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज ही चौरस संख्या असते.
पडताळणी:
पहिली त्रिकोणी संख्या ($1$) + दुसरी त्रिकोणी संख्या ($3$) = $4$ (हा $2$ चा वर्ग आहे).
दुसरी त्रिकोणी संख्या ($3$) + तिसरी त्रिकोणी संख्या ($6$) = $9$ (हा $3$ चा वर्ग आहे).
तिसरी ($6$) + चौथी ($10$) = $16$ (हा $4$ चा वर्ग आहे).
५. इतर भौमितिक संख्या (पंचकोनी व षटकोनी)
२०१६ च्या TET परीक्षेत यावर आधारित प्रश्न आला होता, त्यामुळे या संख्यांची माहिती असणे गरजेचे आहे. जसे त्रिकोणी संख्येसाठी आपण त्रिकोण बनवतो, तसेच पंचकोन आणि षटकोन बनवण्यासाठी लागणाऱ्या बिंदूंच्या संख्येला पंचकोनी किंवा षटकोनी संख्या म्हणतात.
बहुभुजाकृती संख्यांचे सामान्य सूत्र:
(येथे $p$ = बाजूंची संख्या, $n$ = कितवी संख्या हवी आहे)
कल्पना करा की तुमच्याकडे खूप साऱ्या गोट्या (Marbles) किंवा बटणे आहेत आणि तुम्हाला त्यापासून जमिनीवर विविध आकार बनवायचे आहेत.
१. मूळ कल्पना (Basic Idea)
जेव्हा आपण त्रिकोणी संख्या म्हणतो, तेव्हा आपण त्या गोट्यांची मांडणी त्रिकोणाच्या आकारात करतो.
त्याचप्रमाणे:
पंचकोनी संख्या: म्हणजे अशा गोट्या ज्यांची मांडणी तुम्ही पंचकोनाच्या (५ बाजू असलेल्या घरासारख्या) आकारात करू शकता.
षटकोनी संख्या: म्हणजे अशा गोट्या ज्यांची मांडणी तुम्ही षटकोनाच्या (६ बाजू असलेल्या, मधमाशीच्या पोळ्यातील कप्प्यासारख्या) आकारात करू शकता.
हे आकार जसजसे मोठे होत जातात, तसतसे गोट्यांची संख्या वाढते. ती संख्या म्हणजेच "भौमितिक संख्या".
२. पंचकोनी संख्या (Pentagonal Numbers) - ५ बाजू
समजा तुम्हाला पंचकोन (५ बाजू) बनवायचे आहेत.
पहिला पंचकोन फक्त १ बिंदूचा असतो.
दुसरा थोडा मोठा पंचकोन बनवायला ५ बिंदू लागतात.
तिसरा अजून मोठा पंचकोन बनवायला १२ बिंदू लागतात.
म्हणून १, ५, १२... या पंचकोनी संख्या आहेत.
हे काढण्याचे सोपे मशीन (सूत्र):
जर तुम्हाला कितवा तरी (उदा. $n$ वा) नंबर काढायचा असेल, तर हे सूत्र वापरा:
उदाहरण: तुम्हाला ५ वी पंचकोनी संख्या हवी आहे ($n=5$).
१. ५ ची तिप्पट करा ($१५$) आणि त्यातून १ वजा करा ($१४$).
२. आता ५ आणि १४ चा गुणाकार करा ($७०$).
३. त्याला अर्धे करा ($३५$).
उत्तर: ३५.
३. षटकोनी संख्या (Hexagonal Numbers) - ६ बाजू
आता समजा तुम्हाला षटकोन (६ बाजू) बनवायचे आहेत.
पहिला षटकोन म्हणजे १ बिंदू.
दुसरा षटकोन बनवायला ६ बिंदू लागतात.
तिसरा षटकोन बनवायला १५ बिंदू लागतात.
म्हणून १, ६, १५... या षटकोनी संख्या आहेत.
हे काढण्याचे सोपे मशीन (सूत्र):
उदाहरण: तुम्हाला ३ री षटकोनी संख्या हवी आहे ($n=3$).
१. ३ ची दुप्पट करा ($६$) आणि १ वजा करा ($५$).
२. आता ३ आणि ५ चा गुणाकार करा.
३. $३ \times ५ = १५$.
उत्तर: १५.
४. एक खास जादू (Special Note)
"प्रत्येक षटकोनी संख्या ही त्रिकोणी संख्या असतेच."
याचा अर्थ: जर तुमच्याकडे षटकोन बनवायला पुरतील एवढ्या गोट्या (उदा. १५ गोट्या) असतील, तर त्या गोट्या फोडून तुम्ही त्यांचा एक परफेक्ट त्रिकोण सुद्धा बनवू शकता.
(उदा. १५ ही संख्या षटकोनी सुद्धा आहे आणि त्रिकोणी सुद्धा आहे).
थोडक्यात लक्षात ठेवा:
पंचकोनी: ५ बाजू, सूत्र $\frac{n(3n - 1)}{2}$
षटकोनी: ६ बाजू, सूत्र $n(2n - 1)$
६. मागील वर्षांच्या प्रश्नांचे विश्लेषण (Solved PYQs)
परीक्षेतील प्रश्न सोडवताना नेमका कोणता दृष्टिकोन ठेवावा, हे खालील उदाहरणांवरून स्पष्ट होईल.
प्रश्न १ (२०१८ - TET पेपर १, प्रश्न ९१)
प्रश्न: $15$ या त्रिकोणी संख्येनंतर येणाऱ्या पाचव्या त्रिकोणी संख्येचा पाया किती?
विश्लेषण आणि उकल:
आपल्याला $15$ नंतरची ५ वी त्रिकोणी संख्या आणि तिचा पाया शोधायचा आहे.
पायरी १: दिलेल्या त्रिकोणी संख्येचा सध्याचा पाया शोधणे.
दिलेली संख्या = $15$
पाया शोधण्यासाठी:
$30$ च्या आधीची पूर्ण वर्ग संख्या = $25$
$25$ चे वर्गमूळ = $5$
म्हणून, $15$ या संख्येचा पाया = $5$
पायरी २: नवीन पाया शोधणे.
प्रश्नात पाचव्या पुढील त्रिकोणी संख्येचा विचार केला आहे.
म्हणून, जुन्या पायामध्ये $5$ मिळवावे लागतील.
उत्तर: $15$ या त्रिकोणी संख्येनंतर येणाऱ्या पाचव्या त्रिकोणी संख्येचा पाया $10$ आहे.
(जर ती संख्या विचारली असती, तर ती $\frac{10 \times 11}{2} = 55$ आली असती.)
प्रश्न २ (सराव प्रश्न - काठिण्य पातळी उच्च)
प्रश्न: एका त्रिकोणी संख्येचा पाया $12$ आहे, तर त्या संख्येच्या दुप्पटीतून $10$ वजा केल्यास कोणती संख्या मिळेल?
उकल:
पायरी १: त्रिकोणी संख्या काढणे.
येथे पाया ($n$) = $12$
पायरी २: अटीनुसार क्रिया करणे.
संख्येची दुप्पट = $78 \times 2 = 156$
त्यातून $10$ वजा करा:
उत्तर: $146$
७. शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)
स्पर्धा परीक्षेत वेळ वाचवण्यासाठी खालील ट्रिक्स वापरा:
पुढील त्रिकोणी संख्या काढणे:
जर तुम्हाला $n$ वी त्रिकोणी संख्या माहित असेल आणि $(n+1)$ वी काढायची असेल, तर त्या संख्येत फक्त पुढील पाया मिळवा.
उदा. ५ वी त्रिकोणी संख्या $15$ आहे. ६ वी काढण्यासाठी: $15 + 6 = 21$.
क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज:
$1$ पासून सुरू होणाऱ्या $n$ पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज म्हणजेच $n$ पाया असलेली त्रिकोणी संख्या होय.
$$1 + 2 + 3 + ... + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$$हस्तआंदोलन (Handshake) आणि त्रिकोणी संख्या:
एका कार्यक्रमात $10$ व्यक्ती जमल्या असून प्रत्येकाने प्रत्येकाशी एकदा हस्तांदोलन केले, तर एकूण किती हस्तांदोलने होतील?
याचे उत्तर काढण्यासाठी त्रिकोणी संख्येचे सूत्र वापरतात, फक्त पाया $(n-1)$ घ्यावा लागतो.
$$\text{एकूण हस्तांदोलने} = \frac{10 \times (10-1)}{2} = 45$$
८. सारांश
त्रिकोणी संख्या सूत्र: $T = \frac{n(n+1)}{2}$
दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज = पूर्ण वर्ग संख्या.
पाया काढताना दुप्पट करून आधीचे वर्गमूळ घ्यावे.
पंचकोनी आणि षटकोनी संख्यांची सूत्रे लक्षात ठेवावीत.
ही माहिती काळजीपूर्वक वाचा आणि खालील क्विझ सोडवून आपला सराव पक्का करा.
त्रिकोणी, चौरस आणि इतर भौमितिक संख्या
Mock Test: 20 Questions | 20 Minutes
