विभाज्यतेच्या कसोट्या आणि बाकी

स्पर्धा परीक्षांमध्ये, विशेषतः शिक्षक पात्रता परीक्षा (TET), शिष्यवृत्ती परीक्षा आणि इतर राज्यस्तरीय परीक्षांमध्ये गणितातील 'संख्याज्ञान' या घटकावर हमखास प्रश्न विचारले जातात. यातील अत्यंत महत्त्वाचा आणि वेळ वाचवणारा उपघटक म्हणजे 'विभाज्यतेच्या कसोट्या' आणि 'बाकीवर आधारित उदाहरणे'.

एखाद्या मोठ्या संख्येला ठराविक लहान संख्येने पूर्ण भाग जातो की नाही, हे प्रत्यक्ष भागाकार न करता ओळखण्याच्या पद्धतीला विभाज्यतेची कसोटी असे म्हणतात.

मूलभूत संकल्पना आणि सूत्र (Basic Concepts and Formula)

भागाकाराच्या क्रियेमध्ये चार प्रमुख घटक असतात:

भाज्य (Dividend): ज्या संख्येला भाग द्यायचा आहे ती संख्या.
भाजक (Divisor): ज्या संख्येने भाग द्यायचा आहे ती संख्या.
भागाकार (Quotient): भाग दिल्यानंतर येणारे उत्तर.
बाकी (Remainder): भाग दिल्यानंतर उरणारी संख्या.

भागाकाराची मांडणी आणि सूत्र (Division Layout and Formula)

\begin{array}{r l} \text{भाजक (Divisor)} ) & \text{भाज्य (Dividend)} \quad ( \text{भागाकार (Quotient)} \\ - & \text{वजा केलेली संख्या} \\ \hline & \text{बाकी (Remainder)} \end{array}

या चार घटकांमधील परस्पर संबंध खालील सूत्राने दर्शवला जातो:

\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागाकार}) + \text{बाकी}

(इंग्रजीमध्ये: $\text{Dividend} = (\text{Divisor} \times \text{Quotient}) + \text{Remainder}$ )

जेव्हा 'बाकी' शून्य ( $0$ ) असते, तेव्हा आपण म्हणतो की भाज्याला भाजकाने 'निःशेष भाग' (Completely Divisible) गेला आहे.

विभाज्यतेच्या महत्त्वाच्या कसोट्या (Divisibility Rules from 2 to 11)

प्रत्यक्ष भागाकार न करता एखादी संख्या विभाज्य आहे किंवा नाही हे ठरवण्यासाठी खालील नियम अत्यंत उपयुक्त ठरतात.

१. $2$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 2)

नियम: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी $0, 2, 4, 6$ किंवा $8$ यांपैकी एखादा अंक असतो, त्या पूर्ण संख्येला $2$ ने निःशेष भाग जातो.
स्पष्टीकरण: सर्व सम संख्यांना (Even numbers) $2$ ने भाग जातो.
उदाहरण: $457\mathbf{8}$ या संख्येच्या एकक स्थानी $8$ आहे. त्यामुळे $4578$ ला $2$ ने पूर्ण भाग जातो.
शॉर्ट ट्रिक: संख्येची लांबी कितीही मोठी असली तरी फक्त शेवटचा एकच अंक तपासा.

२. $3$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 3)

नियम: दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला जर $3$ ने निःशेष भाग जात असेल, तर त्या पूर्ण संख्येला $3$ ने निःशेष भाग जातो.
स्पष्टीकरण: संख्येतील अंकांची बेरीज (Sum of digits) काढणे आवश्यक आहे.
उदाहरण: $7542$ ही संख्या घेऊ.
अंकांची बेरीज $= 7 + 5 + 4 + 2 = 18$
$18$ ला $3$ ने भाग जातो ( $18 \div 3 = 6$ ). म्हणून $7542$ ला $3$ ने निःशेष भाग जातो.
शॉर्ट ट्रिक्स (Digital Sum Method): बेरीज करत बसण्यापेक्षा संख्येत जिथे $3$ किंवा $3$ च्या पटीतील अंक ( $3, 6, 9$ ) दिसतील ते थेट खोडा. उरलेल्या अंकांची बेरीज $3$ च्या पटीत आहे का ते तपासा.

३. $4$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 4)

नियम: दिलेल्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांपासून (दशक आणि एकक) तयार होणाऱ्या संख्येला जर $4$ ने निःशेष भाग जात असेल, किंवा शेवटचे दोन्ही अंक शून्य ( $00$ ) असतील, तर त्या पूर्ण संख्येला $4$ ने भाग जातो.
उदाहरण: $893\mathbf{24}$ या संख्येत शेवटचे दोन अंक $24$ आहेत.
$24 \div 4 = 6$ . म्हणून पूर्ण संख्येला $4$ ने भाग जातो.
शॉर्ट ट्रिक: पूर्ण संख्येला भाग देत वेळ वाया घालवू नका. फक्त शेवटचे दोन अंक पहा.

४. $5$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 5)

नियम: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी $0$ किंवा $5$ हा अंक असतो, त्या संख्येला $5$ ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरण: $349\mathbf{5}$ आणि $100\mathbf{0}$ या दोन्ही संख्यांना $5$ ने भाग जातो.

५. $6$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 6)

नियम: ज्या संख्येला $2$ ने आणि $3$ ने (दोन्हींनी) निःशेष भाग जातो, त्या संख्येला $6$ ने निःशेष भाग जातो.
स्पष्टीकरण: $6 = 2 \times 3$ . त्यामुळे संख्या सम (Even) असली पाहिजे आणि तिच्या अंकांच्या बेरजेला $3$ ने भाग गेला पाहिजे.
उदाहरण: $3456$
१. एकक स्थानी $6$ आहे, म्हणजे $2$ ने भाग जातो.
२. अंकांची बेरीज: $3 + 4 + 5 + 6 = 18$ . $18$ ला $3$ ने भाग जातो.
दोन्ही अटी पूर्ण होतात, म्हणून $3456$ ला $6$ ने भाग जातो.

६. $7$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 7)

नियम: दिलेल्या संख्येच्या एकक स्थानच्या अंकाची दुप्पट करून, ती उरलेल्या संख्येतून वजा करावी. येणाऱ्या वजाबाकीला जर $7$ ने भाग जात असेल (किंवा वजाबाकी $0$ येत असेल), तर मूळ संख्येला $7$ ने भाग जातो.
उदाहरण: $343$
एकक स्थानचा अंक $= 3$ . त्याची दुप्पट $= 3 \times 2 = 6$ .
उरलेली संख्या $= 34$ .
वजाबाकी $= 34 - 6 = 28$ .
$28 \div 7 = 4$ . म्हणून $343$ ला $7$ ने निःशेष भाग जातो.
शॉर्ट ट्रिक: मोठ्या संख्यांसाठी हा नियम पुन्हा पुन्हा लागू करा जोपर्यंत संख्या लहान होत नाही.

७. $8$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 8)

नियम: दिलेल्या संख्येच्या शेवटच्या तीन अंकांपासून (शतक, दशक आणि एकक) तयार होणाऱ्या संख्येला जर $8$ ने निःशेष भाग जात असेल, किंवा शेवटचे तीनही अंक शून्य ( $000$ ) असतील, तर पूर्ण संख्येला $8$ ने भाग जातो.
उदाहरण: $74\mathbf{816}$
शेवटचे तीन अंक $= 816$ .
$816 \div 8 = 102$ .
म्हणून $74816$ ला $8$ ने निःशेष भाग जातो.

८. $9$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 9)

नियम: दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला जर $9$ ने निःशेष भाग जात असेल, तर त्या पूर्ण संख्येला $9$ ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरण: $87651$
अंकांची बेरीज $= 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 27$ .
$27 \div 9 = 3$ . म्हणून $87651$ ला $9$ ने पूर्ण भाग जातो.

९. $10$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 10)

नियम: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी फक्त $0$ हाच अंक असतो, त्या संख्येला $10$ ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरण: $450, 9900$ .

१०. $11$ ची कसोटी (Divisibility Rule of 11)

नियम: दिलेल्या संख्येतील सम स्थानांवरील (Even places) अंकांची बेरीज आणि विषम स्थानांवरील (Odd places) अंकांची बेरीज यांमधील फरक जर $0$ असेल किंवा $11$ च्या पटीत ( $11, 22, 33...$ ) असेल, तर त्या संख्येला $11$ ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरण: $1331$
विषम स्थानांवरील अंक (पहिला आणि तिसरा): $1 + 3 = 4$
सम स्थानांवरील अंक (दुसरा आणि चौथा): $3 + 1 = 4$
दोन्ही बेरजांमधील फरक: $4 - 4 = 0$ .
फरक $0$ आला, म्हणून $1331$ ला $11$ ने निःशेष भाग जातो.

संयुक्त संख्यांच्या कसोट्या (Rules for Composite Numbers)

परीक्षेत अनेकदा $12, 15, 18, 24, 72$ यांसारख्या संख्यांच्या कसोट्या वापरण्याची वेळ येते.

शॉर्ट ट्रिक्स (Co-prime Factors Method): अशा मोठ्या संख्येचे असे दोन अवयव पाडा जे एकमेकांशी सहमूळ (Co-prime) असतील (ज्यांचा सामायिक विभाजक फक्त $1$ असतो).
- $12$ ची कसोटी $\rightarrow$ ज्या संख्येला $3$ आणि $4$ ने भाग जातो ( $12 = 3 \times 4$ ).
- $15$ ची कसोटी $\rightarrow$ ज्या संख्येला $3$ आणि $5$ ने भाग जातो ( $15 = 3 \times 5$ ).
- $18$ ची कसोटी $\rightarrow$ ज्या संख्येला $2$ आणि $9$ ने भाग जातो ( $18 = 2 \times 9$ ).
- $72$ ची कसोटी $\rightarrow$ ज्या संख्येला $8$ आणि $9$ ने भाग जातो ( $72 = 8 \times 9$ ).

बाकी समान उरणे: लसावि आणि बाकी (Common Remainder: LCM and Remainder)

स्पर्धा परीक्षांमध्ये अत्यंत वारंवार विचारला जाणारा प्रश्न प्रकार म्हणजे: "अशी लहानात लहान संख्या शोधा जिला $x, y, z$ ने भागल्यास प्रत्येक वेळी $R$ ही बाकी उरते."

महत्त्वाची संकल्पना: जेव्हा 'लहानात लहान' (Smallest/Least) असा शब्दप्रयोग असतो, तेव्हा तिथे लसावि (LCM - Least Common Multiple) काढायचा असतो.

जर दिलेली बाकी प्रत्येक वेळी समान (Constant) असेल, तर ती बाकी काढलेल्या लसाविमध्ये मिळवावी लागते.

सूत्र:

\text{अपेक्षित संख्या} = \text{लसावि} (x, y, z) + \text{समान बाकी}

सोडवलेले उदाहरण १ (Solved Example 1)

प्रश्न: अशी लहानात लहान संख्या शोधा जिला $12, 15$ आणि $20$ ने भागले असता प्रत्येक वेळी $5$ बाकी उरते.

स्पष्टीकरण आणि कृती:

पायरी १: सर्वप्रथम $12, 15$ आणि $20$ यांचा लसावि काढा. आपण उभ्या मांडणीने (Division Method) लसावि काढू.

\begin{array}{c|c} 2 & 12, 15, 20 \\ \hline 2 & 6, 15, 10 \\ \hline 3 & 3, 15, 5 \\ \hline 5 & 1, 5, 5 \\ \hline & 1, 1, 1 \end{array}

लसावि (LCM) काढण्यासाठी डावीकडील सर्व विभाजकांचा गुणाकार करा:

\text{लसावि} = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60

याचा अर्थ $60$ ही अशी लहानात लहान संख्या आहे जिला $12, 15$ आणि $20$ ने निःशेष भाग जातो (बाकी $0$ उरते).

पायरी २: प्रश्नानुसार प्रत्येक वेळी बाकी $5$ उरली पाहिजे. त्यामुळे आलेल्या लसाविमध्ये ही बाकी मिळवा.

\text{अपेक्षित संख्या} = 60 + 5 = 65

पडताळा (Verification):

$65$ ला $12$ ने भागून पाहू:

\begin{array}{r l} 12 ) & 65 \quad ( 5 \\ - & 60 \\ \hline & 05 \end{array}

(इथे भागाकार $5$ आला आणि बाकी $5$ उरली. तसेच $15 \times 4 = 60$ , बाकी $5$ . म्हणून उत्तर $65$ अचूक आहे.)

सोडवलेले उदाहरण २ (Different Remainders Concept)

प्रश्न: अशी लहानात लहान संख्या सांगा जिला $15, 20$ आणि $25$ ने भागल्यास अनुक्रमे $10, 15$ आणि $20$ बाकी उरते.

स्पष्टीकरण आणि कृती:

येथे प्रत्येक वेळी उरणारी बाकी वेगळी आहे. पण भाजक आणि बाकी यातील फरक समान असतो.

भाजक: $15, 20, 25$

बाकी: $10, 15, 20$

फरक (Difference):

15 - 10 = 5 \\ 20 - 15 = 5 \\ 25 - 20 = 5

येथे समान फरक (Common Difference) $k = 5$ आहे.

अशा वेळी सूत्र पुढीलप्रमाणे वापरतात:

\text{अपेक्षित संख्या} = \text{लसावि} (x, y, z) - \text{समान फरक } (k)

पायरी १: $15, 20, 25$ चा लसावि काढा.

\begin{array}{c|c} 5 & 15, 20, 25 \\ \hline 2 & 3, 4, 5 \\ \hline 2 & 3, 2, 5 \\ \hline 3 & 3, 1, 5 \\ \hline 5 & 1, 1, 5 \\ \hline & 1, 1, 1 \end{array}

\text{लसावि} = 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 300

पायरी २: लसावि मधून समान फरक ( $5$ ) वजा करा.

\text{अपेक्षित संख्या} = 300 - 5 = 295

(म्हणून $295$ ही ती संख्या आहे.)

स्पर्धा परीक्षांसाठी 'शॉर्ट ट्रिक्स' (Short Tricks for Exams)

परीक्षेत वेळेची बचत करण्यासाठी पारंपारिक पद्धतींपेक्षा खालील शॉर्ट ट्रिक्स अधिक फायदेशीर ठरतात:

पर्यायांवरून उत्तर शोधणे (Elimination Method): लसावि आणि बाकीचे प्रश्न सोडवताना अनेकदा लसावि काढण्याची गरज नसते. दिलेल्या पर्यायांमधून 'बाकी' वजा करा आणि मग उरलेल्या संख्येला दिलेल्या भाजकांनी भाग जातो का ते 'विभाज्यतेच्या कसोट्या' वापरून तपासा.
- उदाहरण: एका संख्येला $9$ ने भागल्यास $4$ बाकी उरते. पर्याय आहेत $22, 31, 40$ .
- ट्रिक: प्रत्येक पर्यायातून $4$ वजा करा. $(22-4=18), (31-4=27), (40-4=36)$ . आता $18, 27, 36$ या तिन्ही संख्यांना $9$ ची कसोटी लागते, पण प्रश्नातील इतर अटींनुसार योग्य तो एकच पर्याय निवडता येतो.
Digital Sum (अंकीय बेरीज) चा वापर: कोणत्याही संख्येला $9$ ने भागल्यावर उरणारी बाकी ही त्या संख्येच्या 'डिजिटल सम' (अंकांची बेरीज जोपर्यंत एक अंकी संख्या मिळत नाही) इतकीच असते.
- उदाहरण: $12345$ ला $9$ ने भागल्यास बाकी किती उरेल?
- अंकांची बेरीज: $1+2+3+4+5 = 15 \rightarrow 1+5 = 6$ .
- म्हणून बाकी $6$ उरेल. प्रत्यक्ष भागाकार करण्याची गरज नाही.
एकक स्थानाचा नियम (Unit Digit Concept): जर प्रश्नात $5$ किंवा $10$ ने भागल्यावर उरणारी बाकी विचारली असेल, तर पूर्ण संख्येकडे न पाहता फक्त एकक स्थानच्या अंकाचा विचार करा.

या सर्व कसोट्या आणि लसावि-बाकीचे नियम अचूक पाठ केल्यास गणिताचा पेपर वेळेत सोडवण्यास खूप मोठी मदत होते. सततच्या सरावाने हे नियम तोंडी वापरण्याची सवय लागते.